Question

Докажите что для любого n Є N выражение " 6 в cтепени 2n" минус 1 делится на 35

Answer 1

П.ч.=а³-а²-а+1
Л.ч.=(а-1)²(а+1)=(а²-2а+1)(а+1)=а³-2а²+а+а²-2а+1=а³-а²-а+1
П.ч.=Л.ч.
Тождество доказано.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что \(6^{2n} - 1\) делится на 35 для любого \(n \in \mathbb{N}\) (где \(\mathbb{N}\) обозначает множество натуральных чисел), давайте разберём это шаг за шагом, используя теорию деления и свойства степеней.

1. Проверим для \(n = 1\): При \(n = 1\), \(6^{2 \cdot 1} - 1 = 6^2 - 1 = 36 - 1 = 35\). \(35\) делится на \(35\) без остатка, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.

2. Докажем для \(n = k + 1\) при условии, что утверждение верно для \(n = k\):

Предположим, что \(6^{2k} - 1\) делится на \(35\) (по предположению индукции).

Теперь рассмотрим \(6^{2(k+1)} - 1\): \[6^{2(k+1)} - 1 = 6^{2k + 2} - 1 = 6^{2k} \cdot 6^2 - 1 = (6^{2k} - 1) \cdot 6^2 + 35\] Мы заметили, что \(6^{2(k+1)} - 1\) можно представить как \(35\) умножить на какое-то число плюс \(6^{2k} - 1\) (согласно предположению индукции).

3. Заключение:

Мы доказали, что если утверждение верно для \(n = k\), то оно также верно и для \(n = k + 1\). Мы уже проверили базовый случай (\(n = 1\)), и по принципу математической индукции можем сказать, что утверждение верно для всех натуральных чисел \(n\).

Таким образом, мы доказали, что \(6^{2n} - 1\) делится на \(35\) для любого \(n \in \mathbb{N}\).