Question

Найдите площади фигур, ограниченных линиями: y=-x^2+2x+3 и y=0

Answer 1

\int \:-x^2+2x+3dx=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x+C.
Пределы интегрирования:
Решаем уравнение -x^2+2*x+3=0: 
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;
x_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3.
Подставляем пределы интегрирования:
-27/3 +9 +3*3 - ((-1/3) + 1 +3*(-1)) = 9 - (-5/3) = 10(2/3) = 10,66667.

Answer 2

Для нахождения площади фигур, ограниченных заданными линиями, нам понадобится найти точки пересечения этих линий и вычислить определенный интеграл. Давайте разберемся в каждом шаге по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения линий y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение: -x^2 + 2x + 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или метода факторизации. Давайте воспользуемся методом факторизации: (-x - 1)(x - 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = -1 и x = 3.

Шаг 2: Определение интервала интегрирования. Так как нас интересует площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0, мы будем интегрировать от x = -1 до x = 3.

Шаг 3: Вычисление площади фигуры. Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла следующим образом:

S = ∫[a, b] f(x) dx

где a = -1, b = 3 и f(x) = -x^2 + 2x + 3.

Теперь, вычислим этот определенный интеграл:

S = ∫[-1, 3] (-x^2 + 2x + 3) dx

Вычислим каждый интеграл отдельно:

∫(-x^2 + 2x + 3) dx = - (1/3)x^3 + x^2 + 3x + C

Теперь, вычислим значение интеграла на интервале от x = -1 до x = 3:

S = [-(1/3)(3)^3 + (3)^2 + 3(3)] - [-(1/3)(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1)] = [-9 + 9 + 9] - [1/3 + 1 - 3] = 9 - (1/3 - 2/3) = 9 - (-1/3) = 9 + 1/3 = 28/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0, составляет 28/3 (или приближенно 9.33) квадратных единиц.