Question

Найдите наибольшее значение функции y=24tgx - 24x + 6п - 5 на отрезке [-п/4; п/4]

Answer 1

$y'=24/cos^2x-24=24tg^2x$,
$y'\geq0$, возрастает на всем промежутке
$[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$ 
$y_{max}=y(\frac{\pi}{4})=24-6\pi+6\pi-5=19$ 

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 24tg(x) - 24x + 6p - 5 на заданном отрезке [-π/4; π/4], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции. Затем, проверим значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках, чтобы определить, где функция достигает своего максимального значения.

Нахождение производной функции

Для начала, возьмем производную функции y по переменной x:

y' = d/dx (24tg(x) - 24x + 6π - 5)

Чтобы решить это, мы можем использовать правила дифференцирования функций.

Производная функции tg(x) равна sec^2(x), где sec(x) обозначает секанс функции x.

Таким образом, производная функции y равна:

y' = 24sec^2(x) - 24

Нахождение критических точек

Для того, чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

24sec^2(x) - 24 = 0

sec^2(x) - 1 = 0

sec^2(x) = 1

sec(x) = ±1

Так как sec(x) является функцией косеканса (reciprocal of cosine), то sec(x) = 1 когда cos(x) = 1, и sec(x) = -1 когда cos(x) = -1.

Проверка значений функции

Теперь мы должны проверить значения функции на концах отрезка [-π/4; π/4] и в найденных критических точках: x = -π/4, x = π/4, x = 0 (поскольку cos(0) = 1), x = π (поскольку cos(π) = -1).

Вычислим значения функции в этих точках:

y(-π/4) = 24tg(-π/4) - 24(-π/4) + 6π - 5

y(π/4) = 24tg(π/4) - 24(π/4) + 6π - 5

y(0) = 24tg(0) - 24(0) + 6π - 5

y(π) = 24tg(π) - 24(π) + 6π - 5

Вычисление значений функции

Вычислим значения функции y в этих точках:

y(-π/4) = 24tg(-π/4) - 24(-π/4) + 6π - 5

tg(-π/4) = -1

y(-π/4) = 24(-1) - 24(-π/4) + 6π - 5

y(-π/4) = -24 + 6π - 5 - 6π + 5

y(-π/4) = -24

y(π/4) = 24tg(π/4) - 24(π/4) + 6π - 5

tg(π/4) = 1

y(π/4) = 24(1) - 24(π/4) + 6π - 5

y(π/4) = 24 - 6π + 6π - 5

y(π/4) = 24 - 5

y(π/4) = 19

y(0) = 24tg(0) - 24(0) + 6π - 5

tg(0) = 0

y(0) = 24(0) - 24(0) + 6π - 5

y(0) = 6π - 5

y(0) ≈ 6(3.14159) - 5

y(0) ≈ 18.84954 - 5

y(0) ≈ 13.84954

y(π) = 24tg(π) - 24(π) + 6π - 5

tg(π) = 0

y(π) = 24(0) - 24(π) + 6π - 5

y(π) = -24π + 6π - 5

y(π) = -18π - 5

Ответ

Итак, наибольшее значение функции y = 24tg(x) - 24x + 6π - 5 на отрезке [-π/4; π/4] равно 19 и достигается при x = π/4.