Question

Площадь осевого сечения конуса равна 24 а площадь его основания равна 36π. Найти объём конуса

Answer 1

V = πR²H .
Sсеч =1/2*(2R*H) =24⇒RH =24 .
Sосн =πR² =36π⇒R =6.
V = πR²H = πR*RH =π*6*24 =144π.

Answer 2

Для того чтобы найти объем конуса, нужно воспользоваться соотношением:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

где \( r \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Известно, что площадь основания \( S_{\text{осн}} = 36\pi \). Так как основание конуса - это круг, площадь основания можно найти по формуле \( S_{\text{осн}} = \pi r^2 \). Поэтому:

\[ \pi r^2 = 36\pi. \]

Решим это уравнение относительно \( r \):

\[ r^2 = 36. \]

\[ r = 6. \]

Теперь у нас есть радиус основания \( r = 6 \).

Также известно, что площадь осевого сечения \( S_{\text{осев}} = 24 \). Эта площадь может быть выражена как:

\[ S_{\text{осев}} = \pi r^2 + \pi r l, \]

где \( l \) - образующая конуса. Мы уже знаем, что \( r = 6 \) и \( S_{\text{осев}} = 24 \), так что:

\[ 24 = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 l. \]

\[ 24 = 36\pi + 6\pi l. \]

\[ 6\pi l = 24 - 36\pi. \]

\[ l = \frac{24 - 36\pi}{6\pi}. \]

Теперь у нас есть длина образующей \( l \).

Теперь, когда у нас есть радиус основания \( r \) и длина образующей \( l \), мы можем найти высоту \( h \) конуса, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом основания, образующей и высотой конуса:

\[ h = \sqrt{l^2 - r^2}. \]

Подставим значения:

\[ h = \sqrt{\left(\frac{24 - 36\pi}{6\pi}\right)^2 - 6^2}. \]

Теперь у нас есть высота \( h \) конуса.

Наконец, подставим значения \( r \), \( h \) и \( \pi \) в формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot h. \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot h. \]

\[ V = 12\pi h. \]

Теперь у нас есть объем конуса.