Question

2sin-√3=0 Cos2x=√2/2 Sin+1/√2=0

Answer 1

1)2sinx-√3=0, 2sinx=√3, sinx=(√3)/2
   sin(π/3)=(√3)/2 , sin(2π/3)=(√3/2)
   x1=π/3 +2kπ, k∈Z
   x2=2π/3 + 2kπ, k∈Z
2)cos2x=(√2)/2
   cos(π/4)=(√2)/2 , cos(7π/4)=(√2)/2
   2x=π/4+2kπ, x1=π/8+kπ , k∈Z
   2x=7π/4+2kπ, x2=7π/8 +kπ, k∈Z
3)sinx+1/√2=0, sinx=-1/√2, sinx=-√2/2
  sin(5π/4)=-√2/2 , sin(7π/4)=-√2/2
  x1=5π/4+2kπ,k∈Z
  x2=7π/4+2kπ,k∈Z

Answer 2

Конечно, рассмотрим по очереди каждое уравнение.

1. \(2 \sin{x} - \sqrt{3} = 0\)

Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению, начнем с выражения \(\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это значение \(\sin{x}\) соответствует углу \(x\), равному \(\frac{\pi}{3}\), потому что \(\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь посмотрим на уравнение \( \cos{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

2. \( \cos{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Используем тригонометрическую формулу \( \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 \). Подставим значение из первого уравнения, где \( \sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \cos{2x} = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{3}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \]

Но \( \frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, необходимо пересмотреть первое уравнение. Правильное значение \(x\), удовлетворяющее условиям обоих уравнений, должно быть таким, чтобы и \(\sin{x}\) и \(\cos{2x}\) были равны нужным значениям.

Подумаем над первым уравнением еще раз. Мы знаем, что \( \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), однако, уравнение \(2\sin{x} - \sqrt{3} = 0\) подразумевает не \(\sin{\frac{\pi}{3}}\), а \(\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, решение этой части уравнения будет \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) - любое целое число.

Теперь найдем значения \(x\) для второго уравнения \( \sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \).

3. \( \sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \)

Выразим \( \sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Это значение соответствует углу \(x\), равному \(-\frac{\pi}{4}\), так как \( \sin{-\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

1. \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. 2. \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \), где \( m \) - целое число.

Эти значения \(x\) удовлетворяют заданным условиям.