Question

Даю 20 баллов найти площадь фигуры ограниченой линиямиу=х^2, y=Квадратный корень из х

Answer 1

На графике 2 кривых. Парабола и график у = √х
Эти графики пересекаются в точках 0 и 1 ( это границы интегрирования)
Ищем 2 интеграла и делаем вычитание.
S1 = интеграл от √х dx =1/2√x | в пределах от 0 до 1 =
= 1/2
S2 = интеграл от х²dx = x³/3 | в пределах от 0 до 1 =
=1/3
S фиг. = 1/2 - 1/3 = 1/6

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и у = √х, нужно найти точки пересечения этих двух функций и вычислить интеграл площади между ними.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций, приравняв их:

х^2 = √х

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(х^2)^2 = (√х)^2

х^4 = х

Теперь приведем все члены уравнения в одну степень:

х^4 - х = 0

Вынесем х за скобку:

х(х^3 - 1) = 0

Таким образом, у нас два возможных значения для х: х = 0 и х^3 - 1 = 0, что приводит к х = 1.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить интеграл площади между этими двумя функциями. Для этого возьмем интеграл от функции у = х^2 до функции у = √х по переменной х, на отрезке от 0 до 1:

∫[0,1] (х^2 - √х) dx

Выполним интегрирование:

∫[0,1] (х^2 - √х) dx = [х^3/3 - (2/3)х^(3/2)] [0,1]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(1^3/3 - (2/3)1^(3/2)) - (0^3/3 - (2/3)0^(3/2))

Упростим:

(1/3 - 2/3) - (0 - 0) = -1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и у = √х, равна -1/3.

Ответ: площадь фигуры равна -1/3.