Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''(1+sinx)-1=0

Answer 1

$y''(1+\sin x)-1=0\\ \\ y''= \frac{1}{1+\sin x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$y'= \int\limits {\frac{1}{1+\sin x} } \, dx$

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $u=tg \frac{x}{2}$, тогда $\sin x= \frac{2u}{u^2+1};\,\,\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Будем иметь

$\displaystyle \int\limits \frac{2du}{u^2+2u+1} = \int\limits\frac{2du}{(u+1)^2} =- \frac{2}{u+1} +C_1=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

$y'=- \dfrac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

Интегрируя снова, получаем

$\displaystyle y= \int\limits\bigg(- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1\bigg)dx$

Решим интегральчик сначала)

$\displaystyle - \int\limits \frac{2dx}{tg\frac{x}{2}+1}=\bigg\{v=tg \frac{x}{2} \bigg\}=-4 \int\limit \frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\\ \\ \\ =-2 \int\limits \frac{1-v}{v^2+1}dv -2 \int\limits \frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+\ln|v^2+1|-2\ln|v+1|+C=\\\\ \\ =-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C$

Общее решение: 

$\boxed{y=-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C_1x+C_2}$

Answer 2

Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения \(y''(1+\sin x)-1=0\), давайте выполним несколько шагов.

1. Начнем с выражения уравнения:

\[y''(1 + \sin x) - 1 = 0\]

2. Решим уравнение относительно производной второго порядка \(y''\):

\[y''(1 + \sin x) = 1\]

3. Теперь проинтегрируем уравнение по \(x\) дважды. После каждого интегрирования добавим постоянные интегрирования:

\[\int y''(1 + \sin x) \,dx = \int 1 \,dx\]

Интегрируя по \(x\), получим:

\[y'(1 + \sin x) = x + C_1\]

Где \(C_1\) — постоянная интегрирования.

4. Интегрируем еще раз по \(x\):

\[\int y'(1 + \sin x) \,dx = \int (x + C_1) \,dx\]

Получаем:

\[y(1 + \sin x) = \frac{x^2}{2} + C_1x + C_2\]

Где \(C_2\) — еще одна постоянная интегрирования.

5. Теперь решим это уравнение относительно \(y\):

\[y = \frac{x^2}{2(1 + \sin x)} + \frac{C_1x}{1 + \sin x} + C_2\]

Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

\[y = \frac{x^2}{2(1 + \sin x)} + \frac{C_1x}{1 + \sin x} + C_2\]

где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные.