Question

ABCDEF правильный шестиугольник. Точка К середина отрезка DE, М середина ВС, L середина FK, Р середина BF, Q середина МК. Докажите что треугольник LPQ правильный

Answer 1

Одна из сторон этого треугольника есть средняя линяя трапеции CDEF. Средняя линяя трапеции равна полусумме его оснований. Одним основанием является сторона шестиугольника ED, т. е. равна a, а вторым основанием расстояние CF, которое равно 2a.
Отсюда сторона треугольника равна (2a+a)/2=3/2a

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник LPQ является правильным, нужно показать, что его все стороны равны между собой, и углы треугольника равны 60 градусов.

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABCDEF:

AB = BC = CD = DE = EF = FA

Также, согласно условиям, K - середина отрезка DE, M - середина отрезка BC, L - середина отрезка FK, P - середина отрезка BF, Q - середина отрезка MK.

Теперь рассмотрим треугольники:

1. Треугольник MKD: - MD = MK (по определению середины отрезка) - Угол MKD прямой, так как DE - диаметр шестиугольника, и угол в полукруге равен 90 градусов.

2. Треугольник MBF: - MB = MF (по определению середины отрезка) - Угол MBF прямой, так как BF - диаметр шестиугольника, и угол в полукруге равен 90 градусов.

Теперь посмотрим на четырехугольник MKFB. Учитывая, что MF = MB и KD = KM, этот четырехугольник является параллелограммом, и, следовательно, сторона MKFB является прямой.

Теперь рассмотрим треугольники:

3. Треугольник LMK: - LM = LK (по определению середины отрезка) - Угол LMK прямой, так как MK - диаметр шестиугольника, и угол в полукруге равен 90 градусов.

4. Треугольник BLP: - BL = BP (по определению середины отрезка) - Угол BLP прямой, так как BP - диаметр шестиугольника, и угол в полукруге равен 90 градусов.

Теперь посмотрим на четырехугольник BLKM. Учитывая, что BL = BP и MK = KL, этот четырехугольник также является параллелограммом, и, следовательно, сторона BLKM является прямой.

Итак, у нас есть две прямые стороны в треугольнике LPQ (сторона MKFB и сторона BLKM), и обе они пересекаются в точке K. Это означает, что треугольник LPQ образован пересечением двух прямых, что делает его прямоугольным. Также, учитывая, что углы MKD и LMK равны 90 градусам, треугольник LPQ также является прямоугольным. Таким образом, треугольник LPQ является прямоугольным и равносторонним, что делает его правильным.