Question

Если от третьего члена геометрической прогрессии отнять 4 , то первые три члена образуют арифметическую прогрессию с разностью 2 .найдите исходную геометрическую прогрессию

Answer 1

b2 = ac                        (1)2b = a+c-4                  (2)(b-1)2 = a(c-5)            (3)Из (3):   b2 -2b +1 = ac - 5a            ac -a - c + 4 + 1 = ac - 5a             4a + 5 = c       Подставим с в (1) и (2):{b2 = a(4a+5)                {b2 = 4a2 + 5a      (4){2b = a+4a+5-4              {2b = 5a + 1      -->    b = (5a+1)/2    Подставим b в (4):(4):       (5а+1)2 /4 = 4а2 + 5а              25a2 + 10a + 1 = 16a2 + 20a               9a2 - 10a + 1 = 0               D=64           a = 1   либо     а=1/91) а=1,   b=3,   c=9.2) a=1/9,   b= (5/9 +1)/2 = 7/9          c= 4*1/9 +5 = 49/9         

Answer 2

Давайте обозначим элементы геометрической прогрессии через \(a\), \(ar\) и \(ar^2\), где \(a\) - первый член прогрессии, а \(r\) - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи мы имеем:

1. \(ar^2 - 4\) - третий член геометрической прогрессии, от которого вычитаем 4. 2. Первые три члена образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.

Сначала найдем первые три члена арифметической прогрессии:

\[a, a+d, a+2d\]

где \(d\) - разность арифметической прогрессии (в данном случае 2).

Теперь мы можем записать уравнение для каждого из трех членов геометрической прогрессии:

1. \(ar\) - второй член геометрической прогрессии. 2. \(ar^2 - 4\) - третий член геометрической прогрессии, от которого вычитаем 4. 3. \(ar^3\) - четвертый член геометрической прогрессии.

Теперь у нас есть три уравнения:

1. \(ar = a + d\) 2. \(ar^2 - 4 = a + 2d\) 3. \(ar^3 = a + 3d\)

Теперь решим эту систему уравнений. Для этого можно воспользоваться методами решения систем линейных уравнений. Однако, для упрощения, можно воспользоваться некоторыми свойствами геометрических прогрессий.

Из первого уравнения можно выразить \(d\) через \(a\) и \(r\):

\[d = ar - a\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ar^2 - 4 = a + 2(ar - a)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[ar^2 - 4 = a + 2ar - 2a\]

\[ar^2 - 4 = 2ar - a\]

\[ar^2 - 4 = a(2r - 1)\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором можно выразить \(r\):

\[r = \frac{ar^2 - 4}{a(2r - 1)}\]

Теперь подставим \(r\) в первое уравнение \(ar = a + d\):

\[a\left(\frac{ar^2 - 4}{a(2r - 1)}\right) = a + (ar - a)\]

Упростим:

\[ar^2 - 4 = a + ar - a\]

\[ar^2 - 4 = ar\]

\[ar^2 - ar - 4 = 0\]

Теперь это уравнение квадратное относительно \(r\). Мы можем решить его с использованием квадратного корня. Решение будет зависеть от конкретных значений \(a\) и, следовательно, от параметров задачи.