Question

Решите уравнение 5 cos^2x-12cos x + 4=0 инайдите корни,принадлежащие отрезку[-5п/2;-п]

Answer 1

A=cosx
5a²-12a+4=0
D=144-4*5*4=144-80=64 √64=8
a1=(12-8)/10=0,4    cosx=+ - arccos0,4+2πn
a2=(12+8)/10=20/10=2      cosx=2∉[-1;1]-нет решения
На [-5π/2;-π]
x=-3π/2+arccos0,4 и x=-5π/2-arccos0,4

Answer 2

Давайте решим уравнение \(5 \cos^2 x - 12 \cos x + 4 = 0\) на отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2}, -\pi\right]\).

1. Прежде всего, давайте перепишем уравнение в более удобной форме. Пусть \(y = \cos x\), тогда уравнение примет вид: \[5y^2 - 12y + 4 = 0.\]

2. Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней \(y\): \[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\] В нашем случае \(a = 5\), \(b = -12\), и \(c = 4\).

\[y = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(4)}}{2(5)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{10}.\]

Таким образом, у нас два корня: \[y_1 = \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2}{1}.\]

3. Теперь вернемся к переменной \(x\). Мы знаем, что \(\cos x = y\), поэтому у нас есть два уравнения: \[\cos x_1 = \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad \cos x_2 = \frac{2}{1}.\]

4. Давайте найдем углы, соответствующие этим значениям косинуса. Используем арккосинус:

\[\begin{align*} x_1 & = \arccos\left(\frac{2}{5}\right), \\ x_2 & = \arccos\left(\frac{2}{1}\right). \end{align*}\]

5. Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2}, -\pi\right]\). Если угол \(x\) принадлежит этому отрезку, то \(x\) удовлетворяет условиям задачи.

\[\begin{align*} x_1 & = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) \approx -1.159, \\ x_2 & = \arccos\left(\frac{2}{1}\right) = 0. \end{align*}\]

Таким образом, корни уравнения \(5 \cos^2 x - 12 \cos x + 4 = 0\) на отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2}, -\pi\right]\) равны \(x_1 \approx -1.159\) и \(x_2 = 0\).