Question

В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 6. На ребре АC находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ точка L. Известно, что АD=2, и ВЕ=ML=1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Answer 1

Решение в приложенном рисунке. Проверьте арифметику. За "некрасивость" чисел - к составителю задачи. По вопросам - в "личку"

Answer 2

Для решения этой задачи сначала найдем координаты вершин треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — правильный, его вершины будут находиться на окружности радиусом 3 единицы с центром в точке М.

Координаты точки М (0, 0, 0), так как ребро МА равно 6 и перпендикулярно плоскости основания.

Координаты точки В можно найти, используя теорему Пифагора: x^2 + y^2 + z^2 = MV^2, где МV — ребро МВ. В данном случае MV = 3, поэтому x^2 + y^2 + z^2 = 9. Так как ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, координаты точки В будут (x, y, 0). Подставив эти значения в уравнение, получим x^2 + y^2 = 9.

Так как треугольник АВС — правильный, его вершины будут находиться на окружности радиусом 3 с центром в точке М. Зная это, можно выразить координаты точки В через угол α, который определяет положение точки В на окружности. Тогда x = 3 * cos(α) и y = 3 * sin(α). Подставив эти значения в уравнение x^2 + y^2 = 9, получим:

(3 * cos(α))^2 + (3 * sin(α))^2 = 9 9 * cos^2(α) + 9 * sin^2(α) = 9 cos^2(α) + sin^2(α) = 1

Таким образом, угол α может быть любым, и координаты точки В будут (3 * cos(α), 3 * sin(α), 0).

Далее, поскольку AD = 2 и VE = ML = 1, координаты точек D, E и L будут:

D: (2 * cos(α), 2 * sin(α), 0) E: (3 * cos(α), 3 * sin(α), 0) L: (cos(α), sin(α), 0)

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки D, E и L. Уравнение плоскости обычно задается в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — коэффициенты, а x, y и z — координаты точек, принадлежащих плоскости.

Чтобы найти коэффициенты A, B, C и D, подставим координаты точек D, E и L в уравнение плоскости и решим полученную систему уравнений.

Подставим точку D: 2 * cos(α) * A + 2 * sin(α) * B + 0 * C + D = 0

Подставим точку E: 3 * cos(α) * A + 3 * sin(α) * B + 0 * C + D = 0

Подставим точку L: cos(α) * A + sin(α) * B + 0 * C + D = 0

Таким образом, получаем систему уравнений:

2 * cos(α) * A + 2 * sin(α) * B + D = 0 3 * cos(α) * A + 3 * sin(α) * B + D = 0 cos(α) * A + sin(α) * B + D = 0

Решим эту систему уравнений методом Крамера. Выразим A, B и D через α:

A = -2 * sin(α) / (2 * cos(α)) B = 2 * cos(α) / (2 * sin(α)) D = -cos(α) * A - sin(α) * B

Упростим эти выражения:

A = -tan(α) B = 1 D = sin(α) * tan(α) - cos(α)

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки D, E и L, будет:

-tan(α) * x + y + (sin(α) * tan(α) - cos(α)) * z = 0

Теперь найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Для этого найдем пересечение этой плоскости с треугольником АВС.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки E и D. Уравнение прямой задается в виде (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты точек на прямой.

Подставим координаты точек E и D в это уравнение:

(x - 3 * cos(α)) / (2 * cos(α) - 3 * cos(α)) = (y - 3 * sin(α)) / (2 * sin(α) - 3 * sin(α)) = (z - 0) / (0 - 0)

Упростим это уравнение:

(x - 3 * cos(α)) / (-cos(α)) = (y - 3 * sin(α)) / (-sin(α)) = z / 0

Учитывая, что z / 0 = ∞, получаем:

(x - 3 * cos(α)) / (-cos(α)) = (y - 3 * sin(α)) / (-sin(α))

Умножим обе части уравнения на -cos(α) * sin(α) и упростим:

x * sin(α) - 3 * sin^2(α) - y * cos(α) + 3 * cos^2(α) = 0

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки E и D, будет:

x * sin(α) - y * cos(α) + 3 * cos^2(α) - 3 * sin^2(α) = 0

Теперь найдем пересечение этой прямой с плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Подставим уравнение прямой и уравнение плоскости в систему уравнений:

x * sin(α) - y * cos(α) + 3 * cos^2(α) - 3 * sin^2(α) = 0 -tan(α) * x + y + (sin(α) * tan(α) - cos(α)) * z = 0

Решим эту систему уравнений методом Крамера. Разрешим систему относительно x и y:

sin(α) * x - cos(α) * y + 3 * cos^2(α) - 3 * sin^2(α) = 0 -tan(α) * x + y + (sin(α) * tan(α) - cos(α)) * z = 0

Решая эту систему, найдем:

x = (3 * cos^2(α) - 3 * sin^2(α)) / (sin(α) - tan(α) * cos(α)) y = (3 * sin(α) * cos(α) - sin(α) * tan(α) + cos(α)) / (sin(α) - tan(α) * cos(α))

Теперь, чтобы найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, найдем длины сторон получ