Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y=3/x-3 осью абсцисс и прямыми x=4 и x=6

Answer 1

Как то так, напиши если изображение плохо получилось

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \frac{3}{x-3}\), осью абсцисс и вертикальными прямыми \(x = 4\) и \(x = 6\), мы можем разбить эту область на три части и вычислить площадь каждой из них.

1. Между \(x = 4\) и \(x = 6\): - Найдем точки пересечения графика с осями. Когда \(y = 0\), то \(x - 3 = 0\), следовательно, \(x = 3\). Таким образом, у нас есть точка пересечения в точке \((3, 0)\). - Когда \(x = 4\) и \(x = 6\), найдем соответствующие значения \(y\) по уравнению \(y = \frac{3}{x-3}\). - При \(x = 4\), \(y = \frac{3}{4-3} = 3\). - При \(x = 6\), \(y = \frac{3}{6-3} = 1\). - Теперь у нас есть три точки: \((3, 0)\), \((4, 3)\) и \((6, 1)\). - Построим теперь трапецию с верхней базой \(y = 3\) (между вертикальными линиями \(x = 4\) и \(x = 6\)) и нижней базой, которая является графиком функции \(y = \frac{3}{x-3}\) между \(x = 4\) и \(x = 6\).

2. Между графиком и \(x\)-осью при \(x < 4\): - График функции \(y = \frac{3}{x-3}\) не существует при \(x \leq 3\), поэтому в этой области у нас нет фигуры.

3. Между \(x\)-осью и вертикальной линией \(x = 4\): - Находим значение функции при \(x = 4\): \(y = \frac{3}{4-3} = 3\). - Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с вершинами в точках \((3, 0)\), \((4, 3)\), и \((4, 0)\).

Теперь мы можем вычислить площадь каждой из этих областей и сложить их, чтобы получить общую площадь.

1. Площадь трапеции: \[ S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2}(a + b)h \] \[ S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2}(3 + 1)(6-4) = 2 \, \text{единицы площади} \]

2. Площадь прямоугольного треугольника: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot (4-3) \cdot 3 = \frac{3}{2} \, \text{единицы площади} \]

Общая площадь фигуры: \[ S_{\text{общая}} = S_{\text{трапеции}} + S_{\text{треугольника}} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \, \text{единицы площади} \]

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции \(y = \frac{3}{x-3}\), осью абсцисс и прямыми \(x = 4\) и \(x = 6\) равна \(\frac{7}{2}\) единиц площади.