Question

Решить уравнение 2sin (в квадрате) x - cos (в кв.) x = sin x cos x

Answer 1

Ну в общем дела обстоят так
делим все на cosx в квадрате
получаем
2tgx^2 - 1 = tgx

2tgx² - tgx -1 = 0

далее будем находить решение через дискрименант

a x² + b x + c = 0
где x = tgx

a = 2
b = (-1)
c = -1

По формуле x₁₂ = (-b +- √D)/2a
D = b² - 4ac
Два корня
1. tgx = (1 + √1 +8)/4 = (1 + √9)/4
x₁ = arctan((1 + √9)/4)
2. tgx = (1 - √9)/4
x₂ = arctan((1 + √9)/4)
Надо получить численные значения и посмотреть по таблице чему это равно

Вроде так

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем применить тригонометрические тождества и алгебраические методы. Позвольте мне шаг за шагом показать вам, как это сделать.

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств

Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить sin^2(x) и cos^2(x) следующими выражениями:

sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Теперь уравнение примет вид:

2 * ((1 - cos(2x)) / 2) - cos(x) = sin(x) * cos(x)

Шаг 2: Упрощение выражения

Давайте упростим уравнение, умножив обе части на 2:

1 - cos(2x) - 2*cos(x) = 2*sin(x)*cos(x)

Теперь у нас есть уравнение без дробей.

Шаг 3: Приведение подобных

Мы можем привести подобные термы, сгруппировав их вместе:

- cos(2x) - 2*cos(x) = 2*sin(x)*cos(x) - 1

Шаг 4: Применение тригонометрического тождества

Используя тригонометрическое тождество cos(2x) = 1 - 2*sin^2(x), мы можем заменить cos(2x) в уравнении:

- (1 - 2*sin^2(x)) - 2*cos(x) = 2*sin(x)*cos(x) - 1

Шаг 5: Приведение подобных

Раскроем скобки и приведем подобные термы:

- 1 + 2*sin^2(x) - 2*cos(x) = 2*sin(x)*cos(x) - 1

Шаг 6: Перенос всех термов на одну сторону

Мы хотим перенести все термы на одну сторону, чтобы уравнение приняло вид 0 = 0:

2*sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) - 2*cos(x) + 2*sin(x) = 0

Шаг 7: Факторизация

Мы можем факторизовать уравнение, вынеся 2*sin(x) из первых двух термов и -2*cos(x) из последних двух:

2*sin(x)*(sin(x) - cos(x)) - 2*cos(x)*(cos(x) - sin(x)) = 0

Шаг 8: Приведение подобных

Приведем подобные термы в каждой скобке:

2*sin(x)*(sin(x) - cos(x)) + 2*cos(x)*(sin(x) - cos(x)) = 0

Шаг 9: Вынос общего множителя

Вынесем общий множитель (sin(x) - cos(x)):

2*(sin(x) - cos(x))*(sin(x) + cos(x)) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые могут равняться нулю:

sin(x) - cos(x) = 0 или sin(x) + cos(x) = 0

Шаг 10: Решение каждого уравнения

Для каждого уравнения найдем значения x, которые удовлетворяют условию.

Уравнение 1: sin(x) - cos(x) = 0

Мы можем применить тригонометрическое тождество sin(x) = cos(x), чтобы найти решение:

x = π/4 + nπ, где n - целое число

Уравнение 2: sin(x) + cos(x) = 0

Мы можем снова применить тригонометрическое тождество sin(x) = -cos(x), чтобы найти решение:

x = 3π/4 + nπ, где n - целое число

Таким образом, уравнение 2sin^2(x) - cos^2(x) = sin(x)cos(x) имеет два набора решений: x = π/4 + nπ и x = 3π/4 + nπ, где n - целое число.