Question

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 4 2 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 45 градусов. б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми. ПОДРОБНОЕ решение С ЧЕРТЕЖОМ, пожалуйста с:

Answer 1

Дано: треугольная правильная пирамида с ребром основания 4√2.
Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
Середина ребра BC - точка Д, середина ребра AB - точка Е.

 Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат вершиной А в начало и ребром  АС по оси Оу.
Определяем координаты исходных точек.
S(0; 4√2; 2), Д(√6; 3√2; 0).
С(0; 4√2; 0), Е(√6; √2; 0).
Вектор SД: ( √6; -√2; -2), |SД| = √(6+2+4) = √12= 2√3.
Вектор СЕ: (√6; -3√2; 0). |CE| = √(6+18+0) = √24 = 2√6.
cos∠(SД;CE) = (SД*CE)/(|SД|*|CE|) = (6+6-0)/(2√3*2√6) = 12/(4*3√2) = 1/√2).
Угол (SД;CE) = arc cos (1/√2) = 45 градусов.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SД и CE. 
Так как прямая SД лежит в плоскости, перпендикулярной основанию, в котором лежит прямая СЕ, то искомое расстояние равно длине перпендикуляра из точки Д на прямую СЕ.
Рассмотрим треугольник СДЕ.
СД = ДЕ = (4√2)/2 = 2√2.
СЕ = √((3√2)²  + (√6)²) = √(18+6) = √24  = 2√6.
По формуле Герона находим площадь СДЕ:
        a                b               c               p                   2p                  S
2,828427    4,89898     2,8281     5,277917     10,555834      3,464102.
Высота из точки Д (это искомое расстояние SД;CE)  равна
ДН = 2S/СЕ = √2 ≈1,414214.

Answer 2

Основание пирамиды SABC

Дано, что основание пирамиды SABC является равносторонним треугольником ABC, длина стороны которого равна 4√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.

а) Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB, равен 45 градусов.

Решение:

1. Обозначим точку, в которой скрещиваются прямые, как M. 2. Поскольку ребро SC перпендикулярно плоскости основания, то точка M является серединой ребра SC. 3. Также, поскольку ребро SC перпендикулярно плоскости основания, то прямая, проходящая через точку S и середину ребра BC, будет перпендикулярна прямой, проходящей через точку C и середину ребра AB. 4. Таким образом, угол между этими прямыми будет прямым углом, то есть 90 градусов. 5. Также, поскольку треугольник ABC является равносторонним, то угол между прямой, проходящей через точку C и середину ребра AB, и прямой, проходящей через точку C и вершину треугольника ABC, будет равен 60 градусов. 6. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми будет равен 90 - 60 = 30 градусов.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB, равен 30 градусов.

б) Найдем расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Решение:

1. Обозначим точку, в которой скрещиваются прямые, как M. 2. Поскольку ребро SC перпендикулярно плоскости основания, то точка M является серединой ребра SC. 3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между точкой M и плоскостью основания пирамиды SABC. 4. Поскольку треугольник ABC является равносторонним, то высота треугольника ABC, опущенная из вершины A, будет проходить через точку M. 5. Высота треугольника ABC равна 4√3 (по формуле для равностороннего треугольника). 6. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми равно 4√3.

Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB, равно 4√3.

Чертеж