Question

Решить неравенство 25^x-6*5^x+5<0

Answer 1

5^2x-6*5^x+5<0.
Обозначим 5^x=t, t>0. Тогда решаем неравенство $t^{2} -6t+5\ \textless \ 0$ методом интервалов.
(t-1)(t-5)<0, t∈(1;5)
5^x∈(1;5), x∈(0;1).

Answer 2

Давайте решим неравенство \(25^x - 6 \cdot 5^x + 5 < 0\). Чтобы упростить запись, введем обозначение: \(y = 5^x\). Тогда неравенство примет вид:

\[ y^2 - 6y + 5 < 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 - 6y + 5 = 0\), чтобы найти точки, где выражение равно нулю. Затем мы определим знак выражения между этими точками.

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \]

Дискриминант положителен, следовательно, у нас есть два корня:

\[ y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]

Таким образом, у нас есть две точки: \(y_1 = 5\) и \(y_2 = 1\). Теперь мы можем определить знак выражения в интервалах между этими точками и за пределами них.

1. \(y < 1\): Выражение \(y^2 - 6y + 5\) положительно, так как у нас есть два множителя одного знака (плюс и плюс). 2. \(1 < y < 5\): Выражение \(y^2 - 6y + 5\) отрицательно, так как у нас есть два множителя разных знаков (минус и плюс). 3. \(y > 5\): Выражение \(y^2 - 6y + 5\) снова положительно.

Теперь вернемся к исходным переменным. Помним, что \(y = 5^x\). Рассмотрим три интервала:

1. \(5^x < 1\): Это эквивалентно \(0 < 5^x < 1\), что невозможно, так как любое положительное число, возведенное в степень, будет больше 0. 2. \(1 < 5^x < 5\): Так как \(5^x\) отрицательно в этом интервале, у нас будет:

\[ 5^x < 1 \implies x < 0 \]

3. \(5^x > 5\): Так как \(5^x\) положительно в этом интервале, у нас будет:

\[ 5^x > 1 \implies x > 0 \]

Итак, решение неравенства \(25^x - 6 \cdot 5^x + 5 < 0\) это \(x < 0\) или \(0 < x < \log_5{5}\).