Question

Найдите наибольшее значение функции у = 3х - 3tgx - 5 на отрезке [0;пи/4]

Answer 1

-5......................

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у = 3x - 3tgx - 5 на отрезке [0;пи/4], мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование позволяет найти экстремумы функции, то есть точки, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения.

Дифференцирование функции

Для начала, давайте найдем производную функции у = 3x - 3tgx - 5. Производная функции показывает, как функция меняется по отношению к ее аргументу (в данном случае x).

Производная функции у = 3x - 3tgx - 5 выглядит следующим образом: у' = 3 - 3 sec^2(x)

Здесь sec^2(x) обозначает квадрат секанса, который является обратным косекансу функции tg(x).

Нахождение критических точек

Для того чтобы найти критические точки функции, нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная у нас существует для всех значений x на отрезке [0;пи/4], поэтому мы будем искать значения x, при которых производная равна нулю.

Уравнение у' = 3 - 3 sec^2(x) = 0

Решим это уравнение: 3 - 3 sec^2(x) = 0 3 sec^2(x) = 3 sec^2(x) = 1 sec(x) = ±1

Здесь sec(x) обозначает секанс функции x. Рассмотрим два случая:

1. sec(x) = 1: Это означает, что x = 0, так как sec(0) = 1.

2. sec(x) = -1: Здесь мы должны найти значения x, при которых секанс равен -1. Одно из таких значений находится в интервале [0;пи/4], и это пи/4.

Таким образом, критические точки функции на отрезке [0;пи/4] равны x = 0 и x = пи/4.

Проверка наибольшего значения

Теперь, чтобы определить, какая из этих точек является точкой максимума функции, нам нужно проанализировать значения функции в этих точках.

Подставим значения x = 0 и x = пи/4 в исходную функцию: у(0) = 3(0) - 3tg(0) - 5 = 0 - 0 - 5 = -5 у(пи/4) = 3(пи/4) - 3tg(пи/4) - 5 = (3пи/4) - 3(1) - 5 = (3пи/4) - 8

Таким образом, у(0) = -5 и у(пи/4) = (3пи/4) - 8.

Ответ

Значение функции у = 3x - 3tgx - 5 на отрезке [0;пи/4] равно -5 при x = 0 и (3пи/4) - 8 при x = пи/4. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно (3пи/4) - 8.