Question

Вычислить интеграл ln^2 +ln(x) + 1 / x

Answer 1

 ..  .....   ...... ....

Answer 2

Для решения этого интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ u' * (∫ v dx) dx,

где u и v - выбранные функции, а u' и v' - их производные.

Давайте выберем u = ln^2(x) и dv = ln(x) + 1/x dx.

Вычислим производную u' и интеграл ∫ v dx:

u' = (2ln(x))/x, ∫ v dx = ∫ (ln(x) + 1/x) dx.

Для вычисления интеграла ∫ v dx мы также можем использовать метод интегрирования по частям. Давайте выберем u = ln(x) и dv = dx.

Вычислим производную u' и интеграл ∫ dv:

u' = 1/x, ∫ dv = ∫ dx = x.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям для интеграла ∫ v dx:

∫ v dx = u * v - ∫ u' * (∫ v dx) dx = ln(x) * x - ∫ (2ln(x)/x) * x dx = ln(x) * x - 2 ∫ ln(x) dx = ln(x) * x - 2 * x * ln(x) + 2 ∫ dx.

Мы получили новый интеграл ∫ ln(x) dx, который можно вычислить без применения метода интегрирования по частям. Этот интеграл равен x * ln(x) - x + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и подставить полученное значение ∫ ln(x) dx:

∫ ln^2(x) * (ln(x) + 1/x) dx = ln(x) * x - 2 * x * ln(x) + 2 * (x * ln(x) - x) + C = ln(x) * x - 2 * x * ln(x) + 2 * x * ln(x) - 2 * x + C = ln(x) * x - 2 * x + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫ ln^2(x) * (ln(x) + 1/x) dx равен ln(x) * x - 2 * x + C.