Question

Решить дифференциальное уравнение (xy y)dx (x-xy)dy=0.И найти его частное решение удовлетворяющее условия при x=1 ,y=1

Answer 1

Supondré que es esta: 
 
           $(xy+y)dx+(x-xy)dy=0\\ \\ y(x+1)dx+x(1-y)dy=0\\ \\ y(x+1)dx=x(1-y)dy\\ \\ \dfrac{x+1}{x}dx=\dfrac{1-y}{y}dy\\ \\ \left(1+\dfrac{1}{x}\right)dx=\left(\dfrac{1}{y}-1\right)dy\\ \\ \\ \displaystyle \int\left(1+\dfrac{1}{x}\right)dx=\int\left(\dfrac{1}{y}-1\right)dy\\ \\ \boxed{x+\ln|x|+C=\ln|y|+y}\\ \\ \\ 1+\ln|1|+C=\ln|1|+1\\ \\ C=0\\ \\ \\ \boxed{\boxed{x+\ln|x|=\ln|y|+y}} \\ \\.$

Answer 2

Для начала, заметим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим, что выполнено условие:

∂(xy+y)/∂y = ∂(x-xy)/∂x

Вычислим обе частные производные:

∂(xy+y)/∂y = x

∂(x-xy)/∂x = 1-y

Таким образом, условие выполнено.

Теперь найдем общее решение уравнения. Для этого проинтегрируем обе части уравнения:

∫(xy+y)dx + ∫(x-xy)dy = 0

Интегрируя, получим:

(1/2)x^2y + xy + (1/2)y^2 = C

где С - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее условиям x=1, y=1. Подставим эти значения в уравнение:

(1/2)(1)^2(1) + (1)(1) + (1/2)(1)^2 = C

1/2 + 1 + 1/2 = C

C = 2

Таким образом, частное решение уравнения, удовлетворяющее условиям x=1, y=1, имеет вид:

(1/2)x^2y + xy + (1/2)y^2 = 2