Question

На координатном луче отметили три точки A, B и C с натуральными координатами. Докажите, что хотя бы одна из середин отрезков с концами в этих точках имеет натуральную координату.

Answer 1

Пусть отрезки будут иметь любых два любых значения - первое -чётное = 2*n, а второе нечетное = 2*n + 1/
Например:  А = 2*n = 6,  Б = 2*n+ 1 = 7.
Середина "четного" отрезка будет натуральным числом. -
С1 = 2n/2 = n - натуральное число ,
а середина второго отрезка
С2 =n + 1/2 - уже действительное число, а не натуральное.
ОТВЕТ: Хотя бы одно - натуральное
Но может быть и два натуральных, если оба числа будут чётными.

Answer 2

Пусть точки A, B и C имеют координаты a, b и c соответственно, где a, b и c - натуральные числа.

Мы хотим доказать, что хотя бы одна из середин отрезков AB, BC или AC имеет натуральную координату.

Рассмотрим отрезок AB. Его середина будет иметь координату (a+b)/2. Поскольку a и b - натуральные числа, то и их сумма (a+b) также будет натуральным числом. Деление на 2 не влияет на натуральность числа, поэтому (a+b)/2 также будет натуральным числом. Таким образом, середина отрезка AB имеет натуральную координату.

Аналогично, рассмотрим отрезок BC. Его середина будет иметь координату (b+c)/2. Поскольку b и c - натуральные числа, то и их сумма (b+c) также будет натуральным числом. Деление на 2 не влияет на натуральность числа, поэтому (b+c)/2 также будет натуральным числом. Таким образом, середина отрезка BC имеет натуральную координату.

Наконец, рассмотрим отрезок AC. Его середина будет иметь координату (a+c)/2. Поскольку a и c - натуральные числа, то и их сумма (a+c) также будет натуральным числом. Деление на 2 не влияет на натуральность числа, поэтому (a+c)/2 также будет натуральным числом. Таким образом, середина отрезка AC имеет натуральную координату.

Таким образом, мы доказали, что хотя бы одна из середин отрезков AB, BC или AC имеет натуральную координату.