Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2−3+4 ,y=4−x

Answer 1

Нужно взять двойной интеграл

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2 - 3\) и \(y = 4 - x\), необходимо определить точки их пересечения. После этого мы можем построить интеграл для расчета площади между этими двумя функциями.

1. Определение точек пересечения:

Уравнения функций: - \(y = x^2 - 3\) - \(y = 4 - x\)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем \(y\): \[ x^2 - 3 = 4 - x \]

Решим уравнение: \[ x^2 + x - 7 = 0 \]

Корни этого уравнения можно найти с использованием формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -7\).

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 29 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2} \]

Таким образом, точки пересечения \(x\) будут: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \]

2. Построение интеграла для расчета площади:

Площадь между двумя кривыми можно выразить в виде интеграла: \[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx \]

где \(f(x)\) и \(g(x)\) - уравнения кривых, \(a\) и \(b\) - точки пересечения кривых.

В данном случае: \[ \text{Площадь} = \int_{x_1}^{x_2} ((x^2 - 3) - (4 - x)) \,dx \]

Теперь вычислим этот интеграл. В результате получится значение площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2 - 3\) и \(y = 4 - x\).