Question

На рисунке изображены окружности с центрами в точках A, B, C, D и E. Отрезками соединены центры касающихся окружностей. Известно, что AB=16, BC=14, CD=17, DE=13 и AE=14. В какой точке находится центр окружности наибольшего радиуса?

Answer 1

Обозначим радиусы окружностей, соответствуюх их центрам, как:
$R_A , R_B , R_C , R_D$   и   $R_E \ .$

Тогда мы можем составить систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = AB \ , \\ R_B + R_C = BC \ , \\ R_C + R_D = CD \ , \\ R_D + R_E = DE \ , \\ R_E + R_A = EA \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_D + R_E = 13 \ , \\ R_E + R_A = 14 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ ( R_E + R_A ) - ( R_D + R_E ) = 14 - 13 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_A - R_D = 1 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D + R_A - R_D = 17+1 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_A = 18 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ ( R_C + R_A ) - ( R_B + R_C ) = 18 - 14 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_A - R_B = 4 \ ; \end{array}\right$

$R_A + R_B + R_A - R_B = 16 + 4 \ ;$

$2 R_A = 20 \ ;$

$R_A = 10 \ ;$

$R_B = 6 \ ;$

$R_C = 8 \ ;$

$R_D = 9 \ ;$

$R_E = 4 \ ;$

Наибольшим является радиус окружности, построенной около центра A.



О т в е т : A .

Answer 2

Для решения этой задачи нужно использовать свойства касательных и радиусов окружностей.

Из условия задачи известно, что отрезки AB, BC, CD, DE и AE соединяют центры окружностей, которые касаются друг друга. Обозначим центры окружностей как O1, O2, O3, O4 и O5 соответственно.

Также известно, что AB = 16, BC = 14, CD = 17, DE = 13 и AE = 14.

Посмотрим на отрезок AB. Он соединяет центры окружностей O1 и O2. Радиус окружности O1 равен половине длины отрезка AB, то есть 16/2 = 8. Радиус окружности O2 также равен 8.

Теперь рассмотрим отрезок BC. Он соединяет центры окружностей O2 и O3. Радиус окружности O2 равен 8, а длина отрезка BC равна 14. Значит, радиус окружности O3 тоже равен 8.

Аналогично, для отрезков CD и DE получаем, что радиусы окружностей O4 и O5 равны 8.

Теперь рассмотрим отрезок AE. Он соединяет центры окружностей O1 и O5. Радиус окружности O1 равен 8, а длина отрезка AE равна 14. Значит, радиус окружности O5 тоже равен 8.

Таким образом, все окружности имеют одинаковый радиус 8.

Ответ: центр окружности наибольшего радиуса находится в точке E.