Question

А) найдите остаток от деления 159^951 на 13. б) найдите последнюю цифру числа 3*7^11-13*2^9+8. п о ж а л у й с т а, с полным решением!

Answer 1

А)
159 =169-10=156+3
остаток будет такой же, как от деления 3^951 на 13
Рассмотрим остатки от деления 3^n на 13
3,9,1,3.9,1 и т.д. 
951 делится на 3. значит остаток 1.
Б) 7^11 заканчивается на 3.
7 49 343 2401
последние цифры образуют ряд 7,9,3,1,7,9,3,1 и т.д.
Значит 3*7^11 заканчивается на 9.
2^9=512
 значит
3*7^11-13*2^9  заканчивается на 3
Ответ: число заканчивается на 1.
(проверим на калькуляторе: 5931973581)

Answer 2

Давайте решим оба задания.

а) Найдите остаток от деления \(159^{951}\) на 13.

Для нахождения остатка от деления большого числа на другое, можно воспользоваться теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) - простое число, а \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\).

В данном случае \(p = 13\) - простое число. Таким образом, можно записать:

\[159^{12} \equiv 1 \pmod{13}\]

Теперь найдем, сколько раз \(159^{951}\) делится на \(159^{12}\):

\[951 = 79 \cdot 12 + 3\]

Таким образом:

\[159^{951} \equiv (159^{12})^{79} \cdot 159^3 \equiv 1^{79} \cdot 159^3 \equiv 159^3 \pmod{13}\]

Теперь найдем \(159^3\) и возьмем остаток от деления на 13:

\[159^3 = 254079 \]

\[254079 \equiv 6 \pmod{13}\]

Таким образом, остаток от деления \(159^{951}\) на 13 равен 6.

б) Найдите последнюю цифру числа \(3 \cdot 7^{11} - 13 \cdot 2^9 + 8\).

Давайте вычислим каждую из составляющих и затем сложим:

\[3 \cdot 7^{11} - 13 \cdot 2^9 + 8\]

1. Вычислим \(7^{11}\):

\[7^{11} = 1977326743\]

2. Вычислим \(2^9\):

\[2^9 = 512\]

Теперь подставим значения:

\[3 \cdot 1977326743 - 13 \cdot 512 + 8\]

Умножим и вычтем:

\[5931980229 - 6656 + 8\]

Теперь сложим:

\[5931973577\]

Таким образом, последняя цифра числа \(3 \cdot 7^{11} - 13 \cdot 2^9 + 8\) равна 7.