Question

Упростить выражение cos^2a-cos(a+ pi/6)cos(a-pi/6)

Answer 1

Cos²α-cos(α+π/6)*cos(α-π/6)
cos²α-1/2(cos(α+π/6+a-π/6) + cos(α+π/6-α+π/6))
cos²α-1/2(cos2α+cos π/3) ;
cos²α-1/2cos2α-1/2*1/2 ;
cos²α - cos2α/2 - 1/4  ; домножим все на 4/4.
(4cos²α-2cos2α - 1)/4 = (4cos²α - 2(2cos²α-1) - 1 ) /4;
(4cos²α-4cos²α+2-1)/4 = 1/4

Answer 2

$cos^2 \alpha -cos( \alpha + \frac{ \pi }{6} )cos( \alpha - \frac{ \pi }{6} )=cos^2 \alpha - \frac{1}{2}[cos( \alpha + \frac{ \pi }{6} - \alpha +\frac{ \pi }{6} )+$$+cos( \alpha + \frac{ \pi }{6} + \alpha -\frac{ \pi }{6} )]=cos^2 \alpha - \frac{1}{2}(cos \frac{ \pi }{3} +cos2 \alpha )=$$=cos^2 \alpha - \frac{1}{2}cos \frac{ \pi }{3} - \frac{1}{2} cos2 \alpha =cos^2 \alpha - \frac{1}{2} * \frac{1}{2}- \frac{1}{2}cos2 \alpha=$$=cos^2 \alpha - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}(2cos^2 \alpha-1)= cos^2 \alpha - \frac{1}{4} -cos^2 \alpha+ \frac{1}{2}=- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$

P. S.
$cosx*cosy= \frac{1}{2} [cos(x-y)+cos(x+y)]$

$cos2 \alpha =2cos^2 \alpha -1$

Answer 3

Для упрощения данного выражения cos^2(a) - cos(a + π/6)cos(a - π/6), мы можем использовать тригонометрические тождества для косинуса.

Тригонометрические тождества для косинуса

1. cos^2(a) = 1 - sin^2(a) 2. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) 3. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Давайте применим эти тождества к нашему выражению.

Используя тождество 2, мы можем переписать cos(a + π/6) в виде:

cos(a + π/6) = cos(a)cos(π/6) - sin(a)sin(π/6)

Здесь cos(π/6) равно √3/2, а sin(π/6) равно 1/2. Подставим эти значения:

cos(a + π/6) = cos(a)(√3/2) - sin(a)(1/2)

Теперь воспользуемся тождеством 3, чтобы переписать cos(a - π/6):

cos(a - π/6) = cos(a)cos(π/6) + sin(a)sin(π/6)

Снова подставим значения cos(π/6) и sin(π/6):

cos(a - π/6) = cos(a)(√3/2) + sin(a)(1/2)

Теперь мы можем заменить исходное выражение:

cos^2(a) - cos(a + π/6)cos(a - π/6) = 1 - sin^2(a) - (cos(a)(√3/2) - sin(a)(1/2))(cos(a)(√3/2) + sin(a)(1/2))

Давайте упростим это выражение.

Вычислим произведение (cos(a)(√3/2) - sin(a)(1/2))(cos(a)(√3/2) + sin(a)(1/2)):

(cos(a)(√3/2) - sin(a)(1/2))(cos(a)(√3/2) + sin(a)(1/2)) = (cos(a)(√3/2))^2 - (sin(a)(1/2))^2 = (3/4)cos^2(a) - (1/4)sin^2(a)

Теперь заменим это в исходном выражении:

1 - sin^2(a) - (3/4)cos^2(a) + (1/4)sin^2(a)

Объединим подобные слагаемые:

(1 - (3/4))cos^2(a) + (1/4 - 1)sin^2(a)

Упрощая дальше:

(1/4)cos^2(a) - (3/4)sin^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение cos^2(a) - cos(a + π/6)cos(a - π/6) равно (1/4)cos^2(a) - (3/4)sin^2(a).