Question

При каких значения параметра А система {y=x^2+8x−2, y=4a−2x имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2]?

Answer 1

Если система {y=x^2+8x−2,
                      {y=4a−2x
имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2].  то y=4a−2x это касательная к параболе y=x^2+8x−2.

Касательная к графику функции задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0).

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Производная функции равна f'(x) = 2x+8.

Коэффициент перед х в уравнении касательной равен производной.

2х+8 = -2.

2х = -10,

х = -5. Это значение х₀.

Находим f(х₀) = (-5)²+8*(-5)-2 = 25-40-2 = -17.

Находим f'(х₀) = 2*(-5)+8 = -10+2 = -2.

Тогда уравнение касательной имеет вид у = -2(х+5)-17 = -2х -10 -17 =

= -2х - 27.

То есть значение 4а равно -27.

Отсюда а = -27/4 = -6,25.

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6; 2], необходимо и достаточно, чтобы графики функций y = x^2 + 8x - 2 и y = 4a - 2x пересекались в одной точке на этом отрезке.

Анализ уравнений:

Первое уравнение представляет собой параболу, а второе - прямую. Чтобы найти точку пересечения, необходимо приравнять уравнения и решить полученное уравнение относительно x.

Подставим y из второго уравнения в первое: x^2 + 8x - 2 = 4a - 2x

Решение уравнения:

Приведем уравнение к квадратному виду: x^2 + 10x - 4a + 2 = 0

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-4a + 2) = 100 + 16a - 8 = 16a + 92

Условие для ровно одного решения:

D = 0 16a + 92 = 0 16a = -92 a = -92/16 a = -23/4

Таким образом, при значении параметра А = -23/4 система уравнений y = x^2 + 8x - 2 и y = 4a - 2x имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6; 2].

[[1]]