Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x)=x^3+6x^2+9x

Answer 1

F(x)=x^3+6x^2+9x
f'(x)=3x^2-12x+93x^2-12x+9=0| : 3x^2-4x+3=0D₁=(-2)^2-3=4-3=1x₁=(2+1)/1=3; x₂=(2-1)/1=1
--------------|-------------------------------|--------------------------->       +     1            -                3         +
Возрастает: (-бесконечности, 1) и (3, + бесконечности)Убывает: (1, 3)

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x, мы должны проанализировать производную этой функции. Производная функции показывает, как меняется функция с течением времени и помогает нам определить, когда функция возрастает или убывает.

Нахождение производной:

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Производная функции f(x) показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Для нахождения производной функции f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x, мы можем использовать правила дифференцирования степенной функции.

Производная степенной функции x^n, где n - постоянная, равна n * x^(n-1).

Применяя это правило к каждому члену функции f(x), получаем: f'(x) = 3x^2 + 12x + 9

Нахождение точек возрастания и убывания:

Теперь, чтобы найти точки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать знак производной. Если производная положительна в определенном интервале, то функция возрастает в этом интервале. Если производная отрицательна в определенном интервале, то функция убывает в этом интервале.

Для нахождения точек возрастания и убывания, нам нужно решить неравенство f'(x) > 0 для точек возрастания и неравенство f'(x) < 0 для точек убывания.

Решение неравенства f'(x) > 0:

3x^2 + 12x + 9 > 0

Это квадратное неравенство можно решить с помощью метода знаков. Найдем корни квадратного уравнения, чтобы определить интервалы, в которых производная положительна или отрицательна.

Сначала найдем корни уравнения 3x^2 + 12x + 9 = 0: Дискриминант D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4*3*9 = 144 - 108 = 36

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных вещественных корня: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-12 + sqrt(36)) / (2*3) = (-12 + 6) / 6 = -1 x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-12 - sqrt(36)) / (2*3) = (-12 - 6) / 6 = -3

Теперь мы знаем, что производная меняет знак на этих двух точках. Теперь мы можем выбрать тестовую точку в каждом из трех интервалов, которые образовались относительно этих корней, чтобы определить знак производной в каждом интервале.

- Берем x = -4, который лежит левее x1 = -3: Подставляем x = -4 в f'(x): f'(-4) = 3*(-4)^2 + 12*(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 Так как значение положительное, производная f'(x) > 0 в интервале (-∞,-3)

- Берем x = 0, который лежит между x1 = -3 и x2 = -1: Подставляем x = 0 в f'(x): f'(0) = 3*(0)^2 + 12*(0) + 9 = 9 Так как значение положительное, производная f'(x) > 0 в интервале (-3,-1)

- Берем x = 2, который лежит правее x2 = -1: Подставляем x = 2 в f'(x): f'(2) = 3*(2)^2 + 12*(2) + 9 = 12 + 24 + 9 = 45 Так как значение положительное, производная f'(x) > 0 в интервале (-1,∞)

Таким образом, мы получаем, что функция f(x) возрастает в интервалах (-∞,-3) и (-1,∞).

Решение неравенства f'(x) < 0:

Аналогично, мы решаем неравенство f'(x) < 0 для нахождения интервалов убывания функции.

3x^2 + 12x + 9 < 0

Мы можем использовать те же корни, которые мы нашли ранее, чтобы разделить интервалы:

- Берем x = -2, который лежит между x1 = -3 и x2 = -1: Подставляем x = -2 в f'(x): f'(-2) = 3*(-2)^2 + 12*(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 Так как значение отрицательное, производная f'(x) < 0 в интервале (-3,-1)

Таким образом, мы получаем, что функция f(x) убывает в интервале (-3,-1).

Вывод:

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x: - Функция возрастает в интервалах (-∞,-3) и (-1,∞). - Функция убывает в интервале (-3,-1).