Question

Найдите площадь фигуры ограниченной прямой y=2x+3 и параболой y=x^2. HELP

Answer 1

Если приравняем две функции , то найдем точки пересечения, это х=-1 и х=3. Для того чтобы найти площадь, нужно из интеграла верхней функции вычесть интеграл нижней (у интегралов пределы точек пересечений). 1 интеграл = x^2+3x=(9+9)-(1-3)=20. 2 интеграл=1/3*x^3=1/3*(9+1)=10/3.
Таким образом получаем площадь=20-10/3=50/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямой y=2x+3 и параболой y=x^2, мы можем использовать метод интегрирования. Площадь фигуры будет равна разности интегралов параболы и прямой на заданном интервале.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки пересечения прямой и параболы, решив систему уравнений y=2x+3 и y=x^2.

Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: 2x+3=x^2

Перенесем все в одну сторону: x^2-2x-3=0

Решим это квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)

Подставим значения a=1, b=-2, c=-3 в формулу и решим: x = (-(-2) ± √((-2)^2-4*1*(-3))) / (2*1) x = (2 ± √(4+12)) / 2 x = (2 ± √16) / 2 x = (2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем две точки пересечения: x1 = (2 + 4) / 2 = 3 x2 = (2 - 4) / 2 = -1

Подставим найденные значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y: y1 = 2*3 + 3 = 9 y2 = 2*(-1) + 3 = 1

Таким образом, точки пересечения прямой и параболы: (-1, 1) и (3, 9).

Нахождение площади

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой, мы будем интегрировать разность функций на заданном интервале.

Интеграл параболы y=x^2 на интервале [-1, 3]: ∫(x^2) dx = [x^3/3] от -1 до 3 = (3^3/3) - ((-1)^3/3) = 9 - (-1/3) = 28/3

Интеграл прямой y=2x+3 на интервале [-1, 3]: ∫(2x+3) dx = [x^2 + 3x] от -1 до 3 = (3^2 + 3*3) - ((-1)^2 + 3*(-1)) = 9 + 9 - 1 - 3 = 14

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямой y=2x+3 и параболой y=x^2, равна разности интегралов: Площадь = (28/3) - 14 = 28/3 - 42/3 = -14/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной прямой y=2x+3 и параболой y=x^2, равна -14/3.