Question

Вектор a одинаково направлен с вектором b(6; -9; 12) и |a|=√29. Найдите координаты вектора a.с решением.

Answer 1

$b(6;-9;12)\\aIIb\\a(6t;-9t;12t)\\|a|=\sqrt{29}\\|a|=\sqrt{(6t)^2+(-9t)^2+(12t)^2}=\sqrt{36t^2+81t^2+144t^2}=\sqrt{261t^2}\\\sqrt{261t^2}=\sqrt{29}\\261t^2=29\\\\t^2=\frac{29}{261}\\\\t^2=\frac{1}{9}\\\\t=+-\frac{1}{3}\\\\a(2;-3;4), a(-2;3;-4)$

Answer 2

Давайте обозначим векторы следующим образом:

\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)

\( \vec{b} = (6, -9, 12) \)

Также дано, что вектор \( \vec{a} \) направлен так же, как и вектор \( \vec{b} \), и \( |\vec{a}| = \sqrt{29} \).

Если векторы направлены одинаково, это означает, что они пропорциональны. Таким образом, можно записать следующее соотношение:

\[ \frac{a_1}{6} = \frac{a_2}{-9} = \frac{a_3}{12} \]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Давайте обозначим общий множитель за \( k \):

\[ \begin{cases} a_1 = 6k \\ a_2 = -9k \\ a_3 = 12k \end{cases} \]

Теперь мы можем записать вектор \( \vec{a} \) с использованием параметра \( k \):

\[ \vec{a} = (6k, -9k, 12k) \]

Теперь, учитывая, что \( |\vec{a}| = \sqrt{29} \), мы можем записать уравнение:

\[ \sqrt{(6k)^2 + (-9k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{29} \]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[ \sqrt{36k^2 + 81k^2 + 144k^2} = \sqrt{29} \]

\[ \sqrt{261k^2} = \sqrt{29} \]

\[ k^2 = \frac{29}{261} \]

\[ k = \pm \frac{1}{3\sqrt{29}} \]

Теперь мы можем подставить значение \( k \) обратно в выражение для вектора \( \vec{a} \):

\[ \vec{a} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, -\frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right) \]

Таким образом, координаты вектора \( \vec{a} \) с учетом условий задачи будут \( \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, -\frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right) \).