Question

Шесть простых чисел являются последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии. найдите наименьшее значнение разности этой прогрессии.

Answer 1

Запишем эти числа по возрастанию. Первое из них не может быть 2, 3, или 5, т.к. если разность прогрессии равна d, то числа 2+2d, 3+3d и 5+5d принадлежат нашей шестерке и они составные. Т.е. в нашей шестерке вообще нет простых чисел 2, 3, 5.

Дальше воспользуемся тем, что если разность прогрессии d не делится на простое число р, то среди любых p подряд идущих элементов такой прогрессии есть кратный p (доказательство см. в конце).

В нашем случае, это значит, что если бы d не было кратно хотя бы одному из чисел 2, 3 или 5, то среди чисел нашей шестерки были бы составные числа (соответственно кратные 2, 3 или 5). Это противоречие. Значит, d обязано быть кратным одновременно 2, 3 и 5, т.е. как минимум d кратно 2*3*5=30. Как не трудно убедиться, как раз 6 чисел 7, 37, 67, 97, 127, 157 являются простыми и образуют арифметическую прогрессию с разностью 30.

P.S. Доказать то свойство можно так. Если бы среди p подряд идущих элементов прогрессии с разностью d не было кратных p, то среди них было бы 2 разных элемента имеющих одинаковые остатки при делении на p (т.к. разных остатков всего p и среди них нет 0). Допустим, это элементы a+dn и a+dm. Тогда их разность должна делиться на p, т.е. d(n-m) кратно p. Т.к. p - простое и d не делится на р, то n-m кратно p. Т.е. два разных элемента a+dn и a+dm не могут быть среди p подряд идущих. ведь расстояние между ними как минимум p.

Answer 2

Давайте предположим, что шесть простых чисел образуют последовательные члены непостоянной арифметической прогрессии. Пусть эта прогрессия имеет вид:

\[a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d.\]

Где \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Так как мы говорим о простых числах, давайте рассмотрим нечетные простые числа, так как все четные, кроме 2, не являются простыми.

Пусть \(a\) - первое нечетное простое число в последовательности. Тогда \(a+2d\) также должно быть простым числом (поскольку оно тоже нечетное). Поскольку это простое число, оно не может делиться на 3, поэтому \(d\) не может быть кратным 3.

Теперь давайте рассмотрим \(a+4d\). Это также нечетное простое число. Если \(d\) было бы кратным 3, то \(a+4d\) было бы кратным 3, что противоречит тому, что оно простое. Следовательно, \(d\) не может быть кратным 3.

Таким образом, мы можем предположить, что \(d\) нечетное простое число (поскольку, если бы оно было четным, оно было бы кратным 2 и, следовательно, не являлось бы простым).

Теперь у нас есть прогрессия с нечетным простым \(d\). Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Если мы возьмем первое нечетное простое число \(a=3\) и разность \(d=5\), то прогрессия будет: 3, 8, 13, 18, 23, 28. В этом случае разность равна 5.

2. Если мы возьмем первое нечетное простое число \(a=5\) и разность \(d=2\), то прогрессия будет: 5, 7, 9, 11, 13, 15. В этом случае разность равна 2.

Таким образом, наименьшее значение разности в данной задаче может быть 2.