Question

Помогите cos (x/2 - p/4) = 1/2

Answer 1

Cos(x\2-p\4)=1\2
x\2-p\4=+- P\3+2Pn
x\2=+-P\3+P\4+2Pn
x=+-2P\3+3P\4+Pn

Answer 2

Конечно, я готов помочь. Давайте разберемся с уравнением \( \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \).

1. Начнем с общего вида уравнения: \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \]

2. Используем тригонометрическую формулу разности: \[ \cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \] Применяем эту формулу к \(A = \frac{x}{2}\) и \(B = \frac{\pi}{4}\): \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Так как \(\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставим это: \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2}} \]

3. Теперь уравнение имеет вид: \[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

4. Умножим обе стороны на \(\sqrt{2}\) и упростим: \[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

5. Используем тригонометрическую формулу суммы для \(\cos\): \[ \cos(A) + \sin(A) = \sqrt{2} \cdot \cos\left(A - \frac{\pi}{4}\right) \] Заменим \(A\) на \(\frac{x}{2}\): \[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \]

6. Теперь уравнение принимает вид: \[ \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

7. Сократим \(\sqrt{2}\) с обеих сторон уравнения: \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \]

Таким образом, уравнение \(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\) эквивалентно исходному уравнению.

Далее, чтобы решить это уравнение, нужно найти значения \(x\), удовлетворяющие условию. Решениями будут углы, для которых косинус равен \(\frac{1}{2}\). Такие углы находятся в рамках первого и четвертого квадрантов.

Общий вид решения: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k \), где \(k\) - целое число.

Решение для \(x\): \( x = 2\left(\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k\right) + \pi \).