Question

Найти интеграл cosx6dx

Answer 1

Это же табличный. 6 за знак интеграла. Ответ 6sinx+c

Answer 2

Чтобы найти интеграл ∫cos^6(x)dx, мы можем использовать метод замены переменных.

1. Перепишем выражение cos^6(x) в виде (cos^2(x))^3. Затем, используя формулу двойного угла, разложим cos^2(x) в сумму cos(2x) и 1.

cos^6(x) = (cos^2(x))^3 = (1/2 * (cos(2x) + 1))^3

2. Заменим переменную: пусть u = 2x, тогда du = 2dx. Таким образом, мы можем переписать интеграл в новых переменных:

∫(1/2 * (cos(2x) + 1))^3 dx = 1/2^3 * ∫(cos(u) + 1)^3 du

3. Раскроем куб в правой части интеграла, используя формулу бинома Ньютона:

1/2^3 * ∫(cos(u)^3 + 3cos(u)^2 + 3cos(u) + 1) du

4. Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

∫cos(u)^3 du = ∫(1/4)(3cos(u) + cos(3u)) du = (1/4)(3sin(u) + 1/3sin(3u)) + C1

∫3cos(u)^2 du = 3∫(1/2 + 1/2cos(2u)) du = 3/2(u + 1/4sin(2u)) + C2

∫3cos(u) du = 3sin(u) + C3

∫1 du = u + C4

5. Заменяем обратно переменную u на x:

(1/2^3)((3sin(u) + 1/3sin(3u)) + C1) + (3/2)(u + 1/4sin(2u)) + C2 + (3sin(u) + C3) + (u + C4)

6. Упрощаем выражение:

(1/8)(3sin(2x) + 1/3sin(6x)) + (3/2)x + 3/8sin(2x) + 3sin(x) + x + C

7. Окончательный ответ:

(1/8)(3sin(2x) + 1/3sin(6x)) + (3/2)x + 3/8sin(2x) + 3sin(x) + x + C, где C - произвольная постоянная.