Question

Исследовать кривую y=x^3+3x^2+24x-8 на выпуклость

Answer 1

У'=3x^2+6x+24
y''=6x+6
6x+6=0
x=1-точка перегиба
(-беск; 1) выпуклость вниз
(1;+беск) выпуклость вверх

Answer 2

Чтобы исследовать кривую \(y = x^3 + 3x^2 + 24x - 8\) на выпуклость, мы можем использовать вторую производную функции. Выпуклость кривой определяется знаком второй производной. Если вторая производная положительна на некотором интервале, то кривая выпукла вверх на этом интервале. Если вторая производная отрицательна, то кривая выпукла вниз.

1. Найдем первую производную \(y'\):

\[y' = 3x^2 + 6x + 24\]

2. Найдем вторую производную \(y''\):

\[y'' = 6x + 6\]

Теперь мы можем исследовать знак второй производной:

Если \(y'' > 0\), то кривая выпукла вверх. Если \(y'' < 0\), то кривая выпукла вниз.

\[6x + 6 > 0\]

Решая неравенство, получаем:

\[6x > -6\]

\[x > -1\]

Таким образом, вторая производная положительна при \(x > -1\), что означает, что кривая \(y = x^3 + 3x^2 + 24x - 8\) выпукла вверх на интервале \((-1, +\infty)\).

Также стоит упомянуть, что вторая производная равна нулю при \(x = -1\), но знак производной меняется с отрицательного на положительный, что указывает на точку перегиба.