Question

Докажите,что если одно число при делении на 14 даёт остаток 11,а другое число при делении на 14-остаток 10,то их сумма делится на 7

Answer 1

Число 14 делится на 7:

14:7=2

Сумма остатков (11+10=21) тоже делится на 7.

Следовательно, сумма делимых тоже делится на 7.

Пример:

53:14=3(ост.11)

80:14=5(ост.10)

(80+53) : 7 = 19

Answer 2

Давайте обозначим два числа, которые удовлетворяют условиям задачи:

1. Первое число: \(a\), такое что \(a \equiv 11 \pmod{14}\), где \(\equiv\) обозначает сравнение по модулю. 2. Второе число: \(b\), такое что \(b \equiv 10 \pmod{14}\).

Теперь давайте рассмотрим их сумму:

\[a + b\]

Поскольку \(a \equiv 11 \pmod{14}\), это означает, что существует целое число \(k_1\), такое что:

\[a = 14k_1 + 11\]

Аналогично, поскольку \(b \equiv 10 \pmod{14}\), существует целое число \(k_2\), такое что:

\[b = 14k_2 + 10\]

Теперь сложим эти два выражения:

\[a + b = (14k_1 + 11) + (14k_2 + 10)\]

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

\[a + b = 14(k_1 + k_2) + (11 + 10)\]

Следовательно, сумма \(a + b\) представляет собой выражение вида \(14m + c\), где \(m = k_1 + k_2\) и \(c = 11 + 10 = 21\).

Таким образом, сумма \(a + b\) имеет остаток 0 при делении на 14, поскольку она выражается как \(14m + c\), где \(c\) делится на 14 (21 делится на 14 один раз с остатком 7).

Таким образом, мы доказали, что если одно число при делении на 14 даёт остаток 11, а другое число при делении на 14 даёт остаток 10, то их сумма делится на 7.