Question

Найдите наименьшее натуральное число, половина которого есть пятая степень, а пятая часть его есть квадрат.

Answer 1

Число обязательно имеет в разложении на простые множители 2, 3 и 5. Т.к. нужно найти наименьшее натуральное число, других множителей в разложении нет.
Если пятая часть числа - пятая степень, то 2 и 3 входят в разложение в степени, кратной 5, а 5 входит в степени, дающей при делении на 5 остаток 1.
Если третья часть - куб, то 2 и 5 входят в разложение в степени, кратной 3, а 3 входит в степени, дающей при делении на 3 остаток 1.
Если половина - квадрат, то 3 и 5 входят в разложение в четной степени, а 2 - в нечетной.
Итак, 2 входит в степени, кратной 3, 5 и притом в нечетной. Т.к. нужно найти наименьшее число, то 2 входит в 15 степени.
Аналогично, 3 входит в степени, кратной 2 и 5, притом дает в остатке при делении на 3 остаток 1. Наименьший показатель степени, подходящий под эти условия, это 10.
Показатель у 5 отвечает требованиям: делится на 2 и 3, дает при делении на 5 остаток 1. Подходит 6.

Искомое число равно

Answer 2

Для поиска наименьшего натурального числа, удовлетворяющего условию задачи, давайте приступим к решению.

Анализ условия

В условии задачи говорится о нахождении наименьшего натурального числа, половина которого является пятой степенью, а пятая часть - квадратом этого числа.

Решение

Предположим, что искомое число обозначается как \( x \). Тогда, согласно условию, у нас есть два уравнения: 1. \( \frac{x}{2} = x^5 \) (половина числа - пятая степень) 2. \( \frac{x}{5} = x^2 \) (пятая часть числа - квадрат)

Из первого уравнения можно выразить \( x \) через \( \frac{x}{2} \): \[ x = 2x^5 \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ \frac{2x^5}{5} = (2x^5)^2 \]

Упростим уравнение: \[ \frac{2x^5}{5} = 4x^{10} \] \[ 2x^5 = 20x^{10} \] \[ 1 = 10x^{10-5} \] \[ 1 = 10x^5 \] \[ x^5 = \frac{1}{10} \] \[ x = \sqrt[5]{\frac{1}{10}} \]

Таким образом, мы получили, что \( x = \sqrt[5]{\frac{1}{10}} \). Это и будет искомым наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условию задачи. Ответ: \( x = \sqrt[5]{\frac{1}{10}} \).