Question

Дана последовательность, начинающаяся с единицы, в которой каждый следующий член равен удвоенной сумме всех предыдущих. Найти наименьшее число, чтобы элемент под этим номером делился на 3 в 2017 степени.

Answer 1

Рассмотрим последовательность {Sn}, в которой на n-ом месте стоит сумма всех членов исходной последовательности с номерами от 1 до n.
Заметим, что k-й член исходной последовательности выражается через Sk и S(k-1):
$a_k=(a_1+a_2+\dots+a_{k-1}+a_k)-(a_1+a_2+\dots+a_{k-1})=S_k-S_{k-1}$

Так как $a_k=2S_{k-1}$, то $S_k=S_{k-1}+2S_{k-1}=3S_{k-1}$.
Это рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии со знаменателем 3, решение известно, $S_k=3^{k-1}S_1=3^{k-1}$ (здесь учтено, что $S_1=a_1=1$).

Тогда при $k\ \textgreater \ 1$
$a_k=S_k-S_{k-1}=3^{k-1}-3^{k-2}=3^{k-2}(3-1)=2\cdot3^{k-2}$

Очевидно, $a_k$ делится на $3^{2017}$, если $k-2\geqslant2017$, $k\geqslant2019$.

Ответ. 2019

Answer 2

Дана последовательность, начинающаяся с единицы, в которой каждый следующий член равен удвоенной сумме всех предыдущих. Нам нужно найти наименьшее число, чтобы элемент под этим номером делился на 3 в 2017 степени.

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание последовательности

Для начала, давайте посмотрим на первые несколько членов последовательности, чтобы понять ее закономерность.

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Каждый следующий член последовательности равен удвоенной сумме всех предыдущих. Например, второй член равен 2 (2 = 2 * 1), третий член равен 4 (4 = 2 * (1 + 2)), четвертый член равен 8 (8 = 2 * (1 + 2 + 4)) и так далее.

Шаг 2: Поиск числа, делящегося на 3 в 2017 степени

Теперь, когда мы понимаем последовательность, давайте найдем число, которое будет делиться на 3 в 2017 степени.

Мы знаем, что каждый следующий член равен удвоенной сумме всех предыдущих. Это означает, что чтобы найти n-ый член последовательности, мы должны просуммировать все предыдущие члены и умножить полученную сумму на 2.

Таким образом, n-ый член можно записать следующим образом:

X(n) = 2 * (X(1) + X(2) + X(3) + ... + X(n-1))

где X(n) - n-ый член последовательности.

Шаг 3: Определение условия деления на 3 в 2017 степени

Теперь давайте определим условие, при котором элемент под определенны