Question

Натуральное число делится на 20 и имеет 14 различных натуральных делителей (включая 1 и само число). Найдите это число.

Answer 1

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*20=720720

 

поправка, можна сократить на 2-= 360360 будет иметь все эти делители

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать информацию о количестве делителей натурального числа. Если нам известно, что натуральное число имеет 14 различных делителей, то это означает, что число можно представить в виде произведения простых чисел в следующем виде:

число = p^a * q^b * r^c * ...

где p, q, r и так далее - простые числа, а a, b, c и так далее - натуральные числа, показывающие степень, в которой каждое простое число входит в разложение.

Следующий шаг - найти все простые числа, которые могут быть делителями данного числа. В данном случае, так как число делится на 20, мы знаем, что оно также делится на 2 и 5, так как 20 = 2 * 2 * 5.

Теперь нам нужно выяснить, какими степенями эти простые числа входят в разложение. Для этого мы можем использовать формулу для количества делителей натурального числа.

Формула для количества делителей натурального числа, записанного в виде произведения простых чисел, выглядит следующим образом:

количество делителей = (a+1) * (b+1) * (c+1) * ...

где a, b, c и так далее - степени, в которых простые числа входят в разложение.

В данном случае у нас 14 делителей. Мы знаем, что число делится на 2 и 5, поэтому количество делителей должно быть равно `(a+1) * (b+1)`, где a - степень числа 2, b - степень числа 5.

Мы можем перебрать все возможные значения a и b и найти такие значения, при которых `(a+1) * (b+1) = 14`.

Вычислим все возможные значения `(a+1) * (b+1)`:

- При a = 1 и b = 13 получаем `(a+1) * (b+1) = 2 * 14 = 28` - При a = 2 и b = 6 получаем `(a+1) * (b+1) = 3 * 7 = 21` - При a = 3 и b = 3 получаем `(a+1) * (b+1) = 4 * 4 = 16` - При a = 4 и b = 1 получаем `(a+1) * (b+1) = 5 * 2 = 10`

Из этих значений только `(a+1) * (b+1) = 10` соответствует заданному количеству делителей.

Таким образом, искомое число будет равно `2^4 * 5^1 = 80`.

Проверим, что это число имеет 14 различных делителей:

- 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 16 - 20 - 40 - 80

Всего 10 делителей, включая 1 и само число, что соответствует условию задачи.

Таким образом, искомое число равно 80.