Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^3+8x^2+16x+23 на отрезке [-13;-3]

Answer 1

Y=x^3+8x^2+16x+23            [-13;3]
y'=3x^2+16x+16
3x^2+16x+16=0
D=256-192=64
x1=(-16+8)/6            x2=(-16-8)/6
x1=-8/6                     x2=-4

_+____+____-____-____+____
      -13    -4      -3       -4/3
y(-4)=23
Ответ: y(-4)=23 наибольшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^3 + 8x^2 + 16x + 23 на отрезке [-13;-3], необходимо найти точку, в которой функция достигает своего максимального значения.

Для этого можно воспользоваться производной функции. Найдем производную функции y по переменной x:

y' = 3x^2 + 16x + 16

Для нахождения точек экстремума функции приравняем производную к нулю:

3x^2 + 16x + 16 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4*3*16 = 256 - 192 = 64

D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня:

x1 = (-16 + √D) / (2*3) = (-16 + 8) / 6 = -8/6 = -4/3 x2 = (-16 - √D) / (2*3) = (-16 - 8) / 6 = -24/6 = -4

Один из корней, x1 = -4/3, не принадлежит отрезку [-13;-3], поэтому его не рассматриваем.

Теперь найдем значения функции y в концах отрезка и в точке x2 = -4:

y(-13) = (-13)^3 + 8*(-13)^2 + 16*(-13) + 23 = -2197 + 1352 - 208 + 23 = -1030 y(-4) = (-4)^3 + 8*(-4)^2 + 16*(-4) + 23 = -64 + 128 - 64 + 23 = 23

Таким образом, на отрезке [-13;-3] наибольшее значение функции y = x^3 + 8x^2 + 16x + 23 равно 23 и достигается в точке x = -4.