Question

Решите уравнение 5sin2x-4sinxcosx+3cos2x=0

Answer 1

5sin2x - 4sinxcosx + 3cos2x=0
5sin2x - 2sin2x + 3cos2x = 0
3sin2x + 3cos2x = 0  делим на 3
cos^2(x) + 2sinxcosx - sin^2(x) = 0  делим на cos^2(x)
1 + 2tgx - tg^2(x) = 0
tg^2(x) - 2tgx - 1 = 0  назначим tg(x) = t
t^2 - 2t - 1 = 0  решим
D = 4 + 4 = 8
t1 = (2 + 2*$\sqrt{2}$) / 2 = 1 + $\sqrt{2}$
t2 = (2 - 2*$\sqrt{2}$) / 2 = 1 - $\sqrt{2}$

tgx = 1 + $\sqrt{2}$
x = arctg(1 + $\sqrt{2}$) + $\pi$*n  где n ∈ Z

tgx = 1 - $\sqrt{2}$
x = arctg(1 - $\sqrt{2}$) + $\pi$*n  где n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения 5sin(2x) - 4sin(x)cos(x) + 3cos(2x) = 0, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Преобразование уравнения с использованием тригонометрических тождеств

Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества для упрощения уравнения:

1. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 2. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Заменим sin(2x) и cos(2x) в исходном уравнении:

5(2sin(x)cos(x)) - 4sin(x)cos(x) + 3(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Преобразование уравнения с использованием алгебраических методов

Давайте преобразуем уравнение, чтобы выразить sin(x) и cos(x) как одну переменную. Обозначим sin(x) = a и cos(x) = b:

10ab - 4ab + 3(b^2 - a^2) = 0

6ab + 3b^2 - 3a^2 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменных a и b. Давайте решим его.

Решение квадратного уравнения

6ab + 3b^2 - 3a^2 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной a:

-3a^2 + 6ab + 3b^2 = 0

Умножим уравнение на -1:

3a^2 - 6ab - 3b^2 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной a.

Решение квадратного уравнения относительно переменной a

3a^2 - 6ab - 3b^2 = 0

Мы можем применить формулу дискриминанта, чтобы найти значения переменной a:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = -6b и c = -3b^2.

D = (-6b)^2 - 4 * 3 * (-3b^2) = 36b^2 + 36b^2 = 72b^2

Теперь найдем значения переменной a:

a = (-(-6b) ± √D) / (2 * 3) = (6b ± √(72b^2)) / 6 = (6b ± 6b√2) / 6 = b ± b√2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для переменной a:

1. a = b + b√2 2. a = b - b√2

Получение значений sin(x) и cos(x)

Теперь, когда у нас есть два возможных значения для переменной a, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения sin(x) и cos(x).

1. a = b + b√2:

sin(x) = b + b√2 cos(x) = b

2. a = b - b√2:

sin(x) = b - b√2 cos(x) = b

Таким образом, у нас есть два набора значений для sin(x) и cos(x), которые удовлетворяют исходному уравнению.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как решить уравнение 5sin(2x) - 4sin(x)cos(x) + 3cos(2x) = 0. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!