Question

Sin7x-cos6x-sin5x=2sinx+5

Answer 1

Функции sin x и cos x принимают значения [-1; 1].
Такое уравнение возможно только в одном случае:
sin 7x = 1; 7x = pi/2+2pi*q; x = pi/14+2pi/7*q
cos 6x = -1; 6x = pi+2pi*n; x = pi/6+pi/3*n
sin 5x = -1; 5x = 3pi/2+2pi*m; x = 3pi/10+2pi/5*m
sin x = -1; x = 3pi/2+2pi*k
Тогда левая часть равна 1 -(-1) -(-1) = 3
А правая часть равна -2 + 5 = 3
То есть уравнение выполняется.
Все решения одновременно выполняются при
x = 3pi/2+2pi*k

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение: sin(7x) - cos(6x) - sin(5x) = 2sin(x) + 5

Шаг 1: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы уравнение было равно нулю:

sin(7x) - cos(6x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

Шаг 2: Преобразуем синусы и косинусы используя тригонометрические тождества. Например, мы знаем, что sin(7x) = sin(6x + x), и мы можем использовать формулу суммы для синуса:

sin(6x + x) - cos(6x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

(sin(6x)cos(x) + cos(6x)sin(x)) - cos(6x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

sin(6x)cos(x) + cos(6x)sin(x) - cos(6x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

Шаг 3: Объединим похожие члены:

sin(6x)cos(x) + (cos(6x) - 1)sin(x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

Шаг 4: Распишем sin(6x)cos(x) используя формулу произведения синуса и косинуса:

(2sin(3x)cos(3x))cos(x) + (cos(6x) - 1)sin(x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

2sin(3x)cos(3x)cos(x) + (cos(6x) - 1)sin(x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

Шаг 5: Распишем cos(3x)cos(x) используя формулу произведения косинусов:

2sin(3x)(cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos(6x) - 1)sin(x) - sin(5x) - 2sin(x) - 5 = 0

2sin(3x)(cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos(6x) - 1 - 2)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

2sin(3x)(cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos(6x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 6: Преобразуем cos^2(x) - sin^2(x) используя формулу разности квадратов:

2sin(3x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (cos(6x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 7: Объединим похожие члены:

2sin(3x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (cos(6x) - 3 + 1)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

2sin(3x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (cos(6x) - 2)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 8: Распишем sin(3x) используя формулу синуса тройного угла:

2(3sin(x) - 4sin^3(x))(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (cos(6x) - 2)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 9: Распишем cos(6x) используя формулу косинуса двойного угла:

2(3sin(x) - 4sin^3(x))(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2cos^2(3x) - 1 - 2)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 10: Объединим похожие члены:

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2cos^2(3x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

6sin(x)cos(x)(cos(x)^2 - sin(x)^2) - 8sin^3(x)(cos(x)^2 - sin(x)^2) + (2cos^2(3x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

6sin(x)cos(x)(cos^2(x) - sin^2(x)) - 8sin^3(x)(cos^2(x) - sin^2(x)) + (2cos^2(3x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 11: Преобразуем cos^2(x) - sin^2(x) используя формулу разности квадратов:

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2cos^2(3x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2cos^2(3x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 12: Распишем cos^2(3x) используя формулу косинуса двойного угла:

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2(cos^2(x) - sin^2(x))^2 - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 13: Объединим похожие члены:

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2(cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x)) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2cos^4(x) - 4cos^2(x)sin^2(x) + 2sin^4(x) - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

Шаг 14: Преобразуем cos^4(x) - 4cos^2(x)sin^2(x) + 2sin^4(x) используя формулы косинуса и синуса в квадрате:

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2(cos^2(x) - sin^2(x))^2 - 3)sin(x) - sin(5x) - 5 = 0

6sin(x)cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 8sin^3(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) + (2((cos^2(x) - sin^2(x))^2 - 2cos^2(x)sin^2(x)))sin(x) - sin(5x) - 5 =