Question

1.Постройте график функции y=x^2-6x+5. Найдите:А) наим. и наиб. значения функции на отрезке [1;4]Б) промежутки возрастания и убывания функциив) решения неравенства x^2-6x+5>0

Answer 1

y=x^2-6x+5

a) y(1)=1-6+5=0

y(4)=16-24+5=-3

y(3)=9-18+5=-4 (ордината вершины) 

Ответ: Наименьшее значение: -4

Наибольшее значение: 0

б) Абсциса вершины: 6/2=3;

Так как ветви направленны вверх:

Ответ: Убывает x e (-бесконечности:3)

Возростает: x e (3; +бесконечности)

в) x^2-6x+5>0

D=36-20=16

x1=(6+4)/2=5

x2(6-4)/2=1

(x-1)(x-5)>0

Решаем методом интервалов:

_____+_____1_____-______5________+_____

Выбираем то, где стоит "+";

Ответ: 

x e (-бесконечности;1)U(5;+бесконечности)

Answer 2

Построение графика функции

Для построения графика функции `y = x^2 - 6x + 5` мы можем использовать несколько методов. Один из них - это ручное построение графика, а другой - это использование графического инструмента, например, графического калькулятора или программы для построения графиков.

Процесс ручного построения графика функции включает в себя следующие шаги:

1. Найти вершину параболы. Для этого можно воспользоваться формулой `x = -b / (2a)`, где `a` и `b` - это коэффициенты при `x^2` и `x` соответственно. В нашем случае `a = 1` и `b = -6`, поэтому `x = -(-6) / (2*1) = 3`. Таким образом, вершина параболы имеет координаты `(3, f(3))`.

2. Найти точки пересечения параболы с осями координат. Для этого можно приравнять `y` к нулю и решить полученное квадратное уравнение. В нашем случае уравнение будет иметь вид `x^2 - 6x + 5 = 0`. Решив его, мы найдем значения `x`, для которых `y = 0`. В нашем случае `x = 1` и `x = 5`, поэтому парабола пересекает ось `x` в точках `(1, 0)` и `(5, 0)`.

3. Найти дополнительные точки на графике, если это необходимо. Например, можно выбрать несколько произвольных значений `x` и вычислить соответствующие значения `y`. Например, если мы возьмем `x = 2`, то `y = 2^2 - 6*2 + 5 = 1`. Таким образом, точка `(2, 1)` будет находиться на графике.

После выполнения всех этих шагов мы можем построить график функции `y = x^2 - 6x + 5`.

График функции y = x^2 - 6x + 5 на отрезке [1;4]:

    ^
    |
    |
    |
    |     .   .
    |    .     .
    |   .       .
    |  .         .
    | .           .
    |._____________.___________
    |
    |__________________________>
    
    1    2    3    4    5

А) Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1;4]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1;4], мы можем рассмотреть значения функции в концах отрезка и в точках экстремума.

1. Найдем значение функции в концах отрезка. Подставим `x = 1` и `x = 4` в функцию `y = x^2 - 6x + 5`: - При `x = 1` получим `y = 1^2 - 6*1 + 5 = 0`. - При `x = 4` получим `y = 4^2 - 6*4 + 5 = 5`.

2. Найдем значение функции в точке экстремума, которой является вершина параболы. Мы уже вычислили координаты вершины параболы ранее: `(3, f(3))`. Подставим `x = 3` в функцию: - При `x = 3` получим `y = 3^2 - 6*3 + 5 = -4`.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1;4] равно `-4`, а наибольшее значение равно `5`.

Б) Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать знак производной функции. Если производная положительна, то функция возрастает; если производная отрицательна, то функция убывает.

Производная функции `y = x^2 - 6x + 5` равна `y' = 2x - 6`.

Найдем точки, в которых производная равна нулю, и определим знак производной в интервалах между этими точками:

1. Найдем точку, в которой `y' = 0`. Решим уравнение `2x - 6 = 0`: - `2x = 6` - `x = 3`

2. Определим знак производной в интервалах: - Если `x < 3`, то `y' < 0` и функция убывает. - Если `x > 3`, то `y' > 0` и функция возрастает.

Таким образом, функция `y = x^2 - 6x + 5` убывает на интервале `(-∞, 3)` и возрастает на интервале `(3, +∞)`.

В) Решение неравенства x^2 - 6x + 5 > 0

Чтобы найти решения неравенства `x^2 - 6x + 5 > 0`, мы можем использовать метод интервалов. Для этого нам необходимо найти значения `x`, при которых функция `y = x^2 - 6x + 5` больше нуля.

1. Найдем точки, где функция равна нулю. Решим уравнение `x^2 - 6x + 5 = 0`: - `x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0` - `x = 1` или `x = 5`

2. Определим знак функции в интервалах между найденными точками: - Если `x < 1` или `x > 5`, то `y > 0` и неравенство выполняется. - Если `1 < x < 5`, то `y < 0` и неравенство не выполняется.

Таким образом, решениями неравенства `x^2 - 6x + 5 > 0` являются интервалы `(-∞, 1) U (5, +∞)`.