Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3+12x^2+15

Answer 1

Y`=3x²+24x=3x(x+8)=0
x=0 U x=-8
         +                  _                  +
--------------------------------------------------
               -8                      0
               max                min
ymin=y(0)=15

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^3 + 12x^2 + 15 \) необходимо использовать метод дифференциального исчисления. Давайте начнем с нахождения производной этой функции, а затем найдем ее критические точки.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции \( y = x^3 + 12x^2 + 15 \) по \( x \) используем правила дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 24x \]

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, где производная равна нулю или не существует, приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \):

\[ 3x^2 + 24x = 0 \]

Решив это квадратное уравнение, получим:

\[ x(x + 8) = 0 \]

Отсюда следует, что \( x = 0 \) или \( x = -8 \).

Определение наименьшего значения

Теперь, чтобы определить наименьшее значение функции, нужно проанализировать ее поведение в окрестностях критических точек. Мы можем использовать вторую производную для определения, является ли каждая критическая точка точкой минимума, максимума или точкой перегиба.

Определение второй производной

Для этого возьмем производную от \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 24 \]

Анализ поведения в окрестностях критических точек

- Для \( x = 0 \): \( \frac{d^2y}{dx^2}(0) = 24 \), что является положительным, следовательно, это точка минимума. - Для \( x = -8 \): \( \frac{d^2y}{dx^2}(-8) = -48 \), что также является положительным, следовательно, это также точка минимума.

Нахождение наименьшего значения

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = x^3 + 12x^2 + 15 \) будет находиться в одной из критических точек. Подставив \( x = 0 \) и \( x = -8 \) в исходную функцию, мы сможем определить наименьшее значение \( y \).

\[ y(0) = 0^3 + 12(0)^2 + 15 = 15 \] \[ y(-8) = (-8)^3 + 12(-8)^2 + 15 = -497 \]

Ответ:

Наименьшее значение функции \( y = x^3 + 12x^2 + 15 \) равно -497, и оно достигается при \( x = -8 \).