Question

Прямая y=11x+16 является касательной к графику функции y=2x^3+4x^2+3x. Найдите абсциссу точки касания.

Answer 1

6 x^2 + 8 x + 3 = 11
X1= -2
X2= 2/3
Ответ -2

Answer 2

Чтобы прямая y=11x+16 была касательной к графику функции y=2x^3+4x^2+3x, необходимо, чтобы у них была общая точка и у них совпадали значения первой производной в этой точке.

Найдем сначала общую точку. Подставим уравнение прямой в уравнение функции и приравняем значения y:

11x+16 = 2x^3+4x^2+3x

Упорядочим уравнение по убыванию степеней:

2x^3 + 4x^2 + 3x - 11x - 16 = 0

2x^3 + 4x^2 - 8x - 16 = 0

Разделим уравнение на 2:

x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0

Одной из корней этого уравнения является x = -2. Подставим этот корень в уравнение функции для нахождения соответствующего значения y:

y = 2*(-2)^3 + 4*(-2)^2 + 3*(-2) = -8 + 16 - 6 = 2

Таким образом, получаем, что общая точка графика функции и прямой - это (-2, 2).

Теперь найдем значения первой производной функции и прямой:

f'(x) = 6x^2 + 8x + 3

y' = 11

Подставим x = -2 в оба уравнения:

f'(-2) = 6*(-2)^2 + 8*(-2) + 3 = 24 - 16 + 3 = 11

y' = 11

Значения первой производной совпадают, значит, прямая y=11x+16 является касательной к графику функции y=2x^3+4x^2+3x.

Абсцисса точки касания равна x = -2.