Question

Известно, что уравнение x^2+px+q=100 имеет два различных целых корня, причём p и q — простые числа. Найдите наибольшее возможное значение q.

Answer 1

Уравнение $x^2+px+q=100$ или $x^2 + px + (q-100) = 0$ имеет 2 различных корня, если дискриминант больше нуля:

$D = p^2 -4*(q-100) \ \textgreater \ 0 \\ \\ p^2 - 4q + 400 \ \textgreater \ 0 \\ \\ 4q \ \textless \ p^2 + 400 \\ \\ q \ \textless \ (\frac{p}{2} )^2 + 100$

Т.к. p и q числа простые, то p д.б чётным, чтобы q получилось целым (натуральным). Но чётное простое число только одно - 2. Значит:

$q \ \textless \ (\frac{2}{2} )^2 + 100 \\ \\ q \ \textless \ 1 + 100 \\ \\ q \ \textless \ 101$

Ближайшее наибольшее простое число меньшее 101 - это число 97.

Итак, p = 2; q = 97

Answer 2

Дано уравнение: x^2 + px + q = 100

Уравнение имеет два различных целых корня, то есть у него есть два значения x, для которых уравнение будет выполняться. Обозначим эти корни как a и b.

Мы знаем, что сумма корней заданного уравнения равна -p (с учетом знака). То есть a + b = -p.

Также, по формуле Виета, произведение корней равно q. То есть ab = q.

Используя эти два уравнения, мы можем выразить q через p и связать их с данным нам условием, что p и q - простые числа.

Из уравнения a + b = -p мы можем сделать вывод, что -p является суммой двух целых чисел, что возможно только в двух случаях: 1. -p = -1 - (-p + 1) (где (-p + 1) - простое число). 2. -p = -2 - (-p + 2) (где (-p + 2) - простое число).

Случай 1: -p = -1 - (-p + 1)

В этом случае, a и b являются двумя последовательными целыми числами. Если мы предположим, что a - простое число, то b будет равно a + 1. Таким образом, мы можем записать:

ab = q a(a + 1) = q

Так как p и q - простые числа, то a и (a + 1) тоже должны быть простыми числами. Но для последовательных целых чисел (a и a + 1) одно из них должно быть четным. Следовательно, такой случай невозможен.

Случай 2: -p = -2 - (-p + 2)

В этом случае, a и b являются двумя целыми числами, которые отличаются на 2. Если мы предположим, что a - простое число, то b будет равно a + 2. Таким образом, мы можем записать:

ab = q a(a + 2) = q

Мы хотим найти наибольшее возможное значение q, поэтому a должно быть максимально возможным простым числом.

Получается, что наибольшее возможное значение q будет являться произведением максимально возможного простого числа (p) и числа на 2 больше его (p + 2).

Таким образом, наибольшее возможное значение q равно (p)(p + 2).

Например, если p = 5, то наибольшее возможное значение q будет равно (5)(7) = 35.

Итак, чтобы найти наибольшее возможное значение q, нам нужно найти максимально возможное простое число p и вычислить (p)(p + 2).