Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-9 x=0 x=3 y=0 с рисунком

Answer 1

$\\ \int_{0}^{3}\left (0-(x^2-9) \right ){\mathrm dx}=9\int_{0}^{3}{\mathrm dx}-\int_{0}^{3}x^2{\mathrm dx}=9x|_{0}^{3}-{1\over3}x^3|_{0}^{3}=9(3-0)-{1\over3}(27-0)=27-9=18$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы должны сначала найти точки их пересечения, а затем провести график и вычислить площадь ограниченной области.

Начнем с нахождения точек пересечения линий.

1. Линия y = x^2 - 9 и линия x = 0: Подставим x = 0 в уравнение y = x^2 - 9: y = 0^2 - 9 = -9 Точка пересечения (0, -9)

2. Линия y = x^2 - 9 и линия x = 3: Подставим x = 3 в уравнение y = x^2 - 9: y = 3^2 - 9 = 0 Точка пересечения (3, 0)

3. Линия y = 0 и линия x = 3: Точка пересечения (3, 0)

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, можем построить график фигуры, ограниченной этими линиями.

y
^
|
|
|           x^2 - 9
|            /
|           /
|          /
|         /
|        /
|       /
|______|______________ x
  -10  -5   0   5   10

На графике видно, что фигура ограничена линиями y = x^2 - 9, x = 0, x = 3 и y = 0.

Теперь мы можем вычислить площадь этой фигуры. Для этого разобьем ее на две части: треугольник и фигуру, образованную графиком функции y = x^2 - 9.

1. Вычислим площадь треугольника. Основание треугольника равно 3 - 0 = 3 (это расстояние между точками пересечения (0, -9) и (3, 0)). Высота треугольника равна 0 (это расстояние от оси x до линии y = 0). Площадь треугольника равна (1/2) * основание * высота = (1/2) * 3 * 0 = 0.

2. Вычислим площадь фигуры, образованной графиком функции y = x^2 - 9. Заметим, что график функции y = x^2 - 9 находится ниже оси x в интервале от x = 0 до x = 3. Площадь этой фигуры можно вычислить с помощью интеграла: ∫[0, 3] (x^2 - 9) dx = [x^3/3 - 9x]_[0, 3] = (3^3/3 - 9*3) - (0^3/3 - 9*0) = (27/3 - 27) - (0 - 0) = (9 - 27) - 0 = -18.

3. Площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 - 9, x = 0, x = 3 и y = 0 равна сумме площадей треугольника и фигуры, образованной графиком функции y = x^2 - 9: Площадь = 0 + (-18) = -18.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 9, x = 0, x = 3 и y = 0, равна -18.