Question

∫(ln^5*x)/x∫(tgx)/(cos^2*x) и это все dx∫e^x*xdxрешите пожалуйста интегралы, тут где то надо подстановкой, где то по частям, пожалуйста подпишите где да что.

Answer 1

1) тот x который в знаменателе, его производная ф-ции натуральный логарифм,  ее вносим под знак дифференциала.

 

$\int\frac{ln^{5}x}{x}\, dx = \int(\frac{1}{x}ln^{5}x)dx = \int(\ln^{5}x)d(lnx) = \frac{ln^{6}x}{6} + C$

 

2) tgx = Sinx/Cosx сокращаем cosx и получаем

 

$\int(\frac{tgx}{cos^{2}x})dx = \int(\frac{sinx*cos^{2}x}{cosx})dx = \int(sinx*cosx)dx = -\int(cosx)d(cosx) = -sinx + C$

 

3) интегрирование по частям

 

$\int\ e^{x}xdx = [ u = x; du = dx; dv = e^{x}; v = e^{x} ] => xe^{x} - \int\ e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C$

Answer 2

Интегралы, которые вы предоставили, требуют различных методов интегрирования, таких как интегрирование по частям и подстановка. Давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности и применим соответствующие методы.

∫(ln^5*x)/x dx

Для этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u - первообразная функции ln^5*x, v - первообразная функции 1/x, u' - производная функции u.

Давайте выберем u = ln^5*x и dv = 1/x dx. Тогда du = (1/x) * (5 * ln^4*x * (1/x)) dx = 5 * ln^4*x / x^2 dx и v = ln|x|.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(ln^5*x)/x dx = ln^5*x * ln|x| - ∫(5 * ln^4*x / x^2 * ln|x|) dx.

Теперь у нас остался новый интеграл, который мы можем решить с помощью подстановки.

∫(tgx)/(cos^2*x) dx

Для этого интеграла мы можем использовать подстановку. Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x) dx.

Заметим, что tg(x) = sin(x) / cos(x). Подставляя u и du, получаем:

∫(tgx)/(cos^2*x) dx = ∫(sin(x) / cos(x)) / (cos^2(x)) dx = ∫(u / cos^2(x)) du.

Теперь у нас есть интеграл от функции u/cos^2(x), который мы можем решить.

∫e^x * x dx

Для этого интеграла мы можем использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u - первообразная функции e^x, v - первообразная функции x, u' - производная функции u.

Давайте выберем u = x и dv = e^x dx. Тогда du = dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫e^x * x dx = x * e^x - ∫(1 * e^x) dx = x * e^x - e^x + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, решение интегралов будет следующим:

∫(ln^5*x)/x dx = ln^5*x * ln|x| - ∫(5 * ln^4*x / x^2 * ln|x|) dx,

∫(tgx)/(cos^2*x) dx = ∫(u / cos^2(x)) du,

∫e^x * x dx = x * e^x - e^x + C.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь один из возможных способов решения данных интегралов, и существуют и другие методы, которые могут быть применены.