Question

X^2 + 2|x| -3 <=0 решить неравенство

Answer 1

1) x ≥ 0

x² + 2x - 3 ≤ 0
D = 4 + 12 = 16
x1 = (-2-4)/2 = -3
x2 = (-2+4)/2 = 1
x∈[0;1]

2) x < 0

x² - 2x - 3 = 0
D = 4 + 12 = 16
x1 = (2-4)/2 = -1
x2 = (2+4)/2 = 3
x∈[-1;0)

Общий ответ: x∈[-1;1]

Answer 2

Для решения данного неравенства, сначала нужно разбить его на несколько частей и решить каждую из них отдельно. Давайте рассмотрим это пошагово.

Разделение неравенства на части

Неравенство имеет следующий вид: ``` X^2 + 2|x| - 3 <= 0 ``` Чтобы разделить его на части, нужно рассмотреть два случая: когда значение `x` положительно и когда оно отрицательно. Поскольку модуль `|x|` всегда неотрицательный, мы можем разделить неравенство на две части следующим образом:

1. Когда `x >= 0`: ``` X^2 + 2x - 3 <= 0 ```

2. Когда `x < 0`: ``` X^2 - 2x - 3 <= 0 ```

Решение первой части неравенства

Начнем с решения первой части неравенства, когда `x >= 0`. Для этого мы можем использовать факт, что выражение `|x|` равно `x`, когда `x` неотрицательно.

Выражение принимает следующий вид: ``` X^2 + 2x - 3 <= 0 ```

Решение второй части неравенства

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства, когда `x < 0`. Для этого мы можем использовать факт, что выражение `|x|` равно `-x`, когда `x` отрицательно.

Выражение принимает следующий вид: ``` X^2 - 2x - 3 <= 0 ```

Решение каждой части неравенства

Теперь у нас есть два квадратных неравенства, и мы можем решить каждое из них отдельно.

1. Когда `x >= 0`: ``` X^2 + 2x - 3 <= 0 ```

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод квадратного трехчлена или графический метод. Я воспользуюсь методом квадратного трехчлена.

Сначала найдем корни квадратного уравнения `X^2 + 2x - 3 = 0`: ``` X^2 + 2x - 3 = (X - 1)(X + 3) = 0 ```

Таким образом, корни уравнения равны `x = 1` и `x = -3`.

Теперь, чтобы определить, когда `X^2 + 2x - 3 <= 0`, мы можем построить знаки `x - 1` и `x + 3` на числовой оси и определить, когда они находятся ниже нуля. Выясним это с помощью таблицы знаков:

         x - 1   |   x + 3   | X^2 + 2x - 3
   ----------------------------------------
         -3      |    -1     |     +
         -1      |     3     |     -
          1      |     3     |     +
   

Из таблицы знаков видно, что `X^2 + 2x - 3 <= 0` при `-3 <= x <= -1` и `1 <= x <= 3`. Таким образом, решение первой части неравенства - это интервал `[-3, -1] U [1, 3]`.

2. Когда `x < 0`: ``` X^2 - 2x - 3 <= 0 ```

Чтобы решить это неравенство, мы также можем использовать метод квадратного трехчлена или графический метод. Воспользуемся методом квадратного трехчлена.

Найдем корни квадратного уравнения `X^2 - 2x - 3 = 0`: ``` X^2 - 2x - 3 = (X - 3)(X + 1) = 0 ```

Таким образом, корни уравнения равны `x = -1` и `x = 3`.

Определим, когда `X^2 - 2x - 3 <= 0`, построив знаки `x - 3` и `x + 1` на числовой оси и определить, когда они находятся ниже нуля:

         x - 3   |   x + 1   | X^2 - 2x - 3
   ----------------------------------------
         -1      |     3     |     -
         -3      |    -1     |     +
   

Из таблицы знаков видно, что `X^2 - 2x - 3 <= 0` при `-3 <= x <= -1`. Таким образом, решение второй части неравенства - это интервал `[-3, -1]`.

Объединение решений

Таким образом, объединяя решения каждой части неравенства, получим окончательное решение: ``` x Є [-3, -1] U [1, 3] ```

Это значит, что значения `x`, принадлежащие интервалу `[-3, -1] U [1, 3]`, удовлетворяют исходному неравенству.