Question

Найдите количество целочисленных решений (a;b;c) уравнения 27^a*75^b*5^c=1875 удовлетворяющих условию |a+b+c|<111.

Answer 1

27^a=3^(3a); 75^b=3^b*5^(2b); 5^c
1875=3*5^4
27^a*75^b*5^c=3^(3a+b)*5^(2b+c)=3*5^4
Получаем систему 2 уравнений с 3 неизвестными
{ 3a+b=1
{ 2b+c=4
Решаем. Выразим всё через b
{ a=(1-b)/3
{ c=4-2b
По условию |a+b+c| < 111
|(1-b)/3+b+4-2b| < 111
Умножим всё на 3
|1-b+3b+12-6b| < 333
|-4b+13| < 333
-333 < -4b+13 < 333
-346 < -4b < 320
Делим всё на -4, при этом неравенство переворачивается.
-80 < b < 86,5
Так как b целые, то
b € [-79; 86]
Это 79+86+1=166 решений.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться факторизацией числа 1875 и анализом степеней простых чисел в разложении.

Разложим число 1875 на простые множители: 1875 = 3^1 * 5^5

Обратим внимание на степени простых чисел в разложении: Степень числа 3 равна 1, степень числа 5 равна 5.

Теперь рассмотрим возможные значения переменных a, b и c. Так как 27 = 3^3 и 75 = 3^15^2, то разложение числа 1875 можно записать в следующем виде: 1875 = (3^3)^a * (3^15^2)^b * 5^c

Соответственно, уравнение 27^a * 75^b * 5^c = 1875 может быть переписано в виде: (3^3)^a * (3^15^2)^b * 5^c = 3^1 * 5^5

Теперь сравним степени простых чисел в левой и правой части уравнения: Для числа 3: 3a + 3b = 1 Для числа 5: 5b + c = 5

Решение уравнений:

Решение уравнения 3a + 3b = 1: Так как коэффициенты при переменных a и b равны 3, то возможные значения a и b могут быть только 0 или 1. Рассмотрим два случая:

1) a = 0, b = 1 2) a = 1, b = 0

Решение уравнения 5b + c = 5: Так как коэффициенты при переменных b и c равны 5, то возможные значения b и c могут быть только 0 или 1. Рассмотрим два случая:

1) b = 0, c = 5 2) b = 1, c = 0

Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации значений переменных a, b и c, удовлетворяющих условию |a+b+c| < 111.

Комбинации: 1) a = 0, b = 1, c = 5 2) a = 1, b = 0, c = 0

Подсчитаем количество целочисленных решений: В данном случае, у нас есть 2 комбинации переменных, удовлетворяющих условию. Следовательно, количество целочисленных решений (a, b, c) уравнения 27^a * 75^b * 5^c = 1875, удовлетворяющих условию |a+b+c| < 111, равно 2.