Question

Решить уравнение 9(tg^4x+ctg^4x)=15(tgx+ctgx)^2+2. В ответ записать КОличество корней в промежутке [0; 2pi].

Answer 1

ОДЗ: x не= (п/2)+п*n, n целое и
x не= п*m, m целое.
tg^4x + ctg^4x = tg^4x + ctg^4x + 2 - 2 = (tg^4x + ctg^4x + 2*tg^2x*ctg^2x) -2= (tg^2x + ctg^2x)^2 -2 = (tg^2x + ctg^2x + 2 - 2)^2 -2 = 
= ( (tgx+ctgx)^2 - 2)^2 -2;
положим (tgx+ctgx)^2 = t,
тогда
tg^4x + ctg^4x = ( t -2)^2 -2;
и
9*[ (t-2)^2 - 2] = 15*t + 2;
9*( t^2 - 4t + 4 - 2 ) = 15*t + 2;
9*t^2 - 36*t + 18 = 15t +2;
9*t^2 - (36+15)*t + 16 = 0;
9t^2 - 51t + 16 = 0;
D = 51^2 - 4*9*16 = 2601 - 576 = 2025 = 45^2;
t1 = (51-45)/18 = 6/18 = 1/3;
t2 = (51+45)/18 = 96/18 = 48/9 = 16/3.
1). (tgx + ctgx)^2 = 1/3;
tg^2 + (1/tgx)^2 + 2 = 1/3;
tg^2 + (1/tgx)^2 + 5/3 = 0;
3*tg^4(x) + 3 + 5*tg^2(x) = 0;
3*tg^4(x) + 5*tg^2(x) + 3 = 0; положим z=tg^2(x),
3*z^2 + 5z + 3 = 0;
D = 25 - 4*3*3 = 25 - 36<0; решений нет.
2) (tgx + ctgx)^2 = 16/3;
tg^2x + (1/tg^2x) + 2 = 16/3;
tg^2x + (1/tg^2x) + [ (6 - 16)/3] = 0;
tg^2x + (1/tg^2x) - (10/3) = 0;
3*tg^4x + 3 - 10*tg^2 = 0; положим tg^2x = z;
3z^2 - 10z + 3 = 0;
D = 100 - 4*3*3 = 10 - 36 = 64 = 8^2;
z1 = (10-8)/6 = 2/6 = 1/3;
z2 = (10+8)/6 = 18/6 = 3.
2.1) tg^2x = 1/3;
tgx = 1/(sqrt(3)) или tg(x) = -1/sqrt(3).
x1 = 
2.2) tg^2x = 3;
tgx = sqrt(3) или tg(x) = -sqrt(3).
От нуля до 2п, это один оборот вокруг единичной окружности, посмотри прикрепленный рисунок на нем выделены решения, а также линия тангенсов. По рисунку видно, что решений 8.

Answer 2

Дано уравнение: 9(tg^4x+ctg^4x)=15(tgx+ctgx)^2+2.

Для начала, заметим, что tg^4x = (tgx)^4 и ctg^4x = (ctgx)^4. Также, (tgx+ctgx)^2 = (tgx)^2 + 2tgx*ctgx + (ctgx)^2.

Подставим это в исходное уравнение:

9((tgx)^4 + (ctgx)^4) = 15((tgx)^2 + 2tgx*ctgx + (ctgx)^2) + 2.

Раскроем скобки:

9(tgx^4 + 2(tgx)^2(ctgx)^2 + (ctgx)^4) = 15(tgx^2 + 2tgx*ctgx + (ctgx)^2) + 2.

Распишем степени:

9t^4 + 18t^2c^2 + 9c^4 = 15t^2 + 30tc^2 + 15c^2 + 2.

Перенесем все слагаемые в одну часть:

9t^4 + 18t^2c^2 + 9c^4 - 15t^2 - 30tc^2 - 15c^2 - 2 = 0.

Упростим уравнение:

9t^4 - 15t^2 + 18t^2c^2 - 30tc^2 + 9c^4 - 15c^2 - 2 = 0.

Обозначим t^2 = a и c^2 = b:

9a^2 - 15a + 18ab - 30b + 9b^2 - 15b - 2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно a:

9a^2 + (18b - 15)a + (9b^2 - 30b - 15b - 2) = 0.

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = (18b - 15)^2 - 4 * 9 * (9b^2 - 30b - 15b - 2).

D = 324b^2 - 1080b - 540b - 180 + 900 - 144b^2 + 180b + 225.

D = 180b^2 - 1260b + 945.

Теперь найдем значения b, для которых D >= 0:

180b^2 - 1260b + 945 >= 0.

Для этого решим квадратное неравенство:

b^2 - 7b + 5.25 >= 0.

(b - 5.25)(b - 0.75) >= 0.

Из этого следует, что 0.75 <= b <= 5.25.

Теперь найдем значения a, для которых D >= 0:

9a^2 + (18b - 15)a + (9b^2 - 30b - 15b - 2) >= 0.

Для этого решим квадратное неравенство:

a^2 + (2b - 5/3)a + (b^2 - 5b - 2/3) >= 0.

С помощью дискриминанта найдем интервалы, на которых это неравенство выполнено. После решения неравенства, найденные интервалы значения a будут зависеть от b.

Таким образом, в промежутке [0; 2pi] количество корней будет зависеть от значений b и a, которые мы получили ранее.