Question

В каждой клетке квадрата 3×3 был написан ноль. За ход можно выбрать квадрат 2×2 и прибавить по единице к четырем числа в нем. После нескольких таких операций оказалось, что центральное число в квадрате равно 47. Чему равна сумма всех девяти чисел в квадрате 3×3?

Answer 1

Я уже отвечал на такой вопрос.
Обозначим клетки, как в шахматах 1,2,3 по вертикали и a,b,c по горизонтали.
Центральная клетка - b2.
Будем ставить числа все время в один и тот же квадрат a1, a2, b1, b2.
После 47 шагов в b2 будет 47.
И также во всех клетках этого квадрата.
Сумма равна 47*4=188

Answer 2

Пусть каждая клетка квадрата 3×3 обозначается как aij, где i - номер строки (от 1 до 3), j - номер столбца (от 1 до 3).

Изначально в каждой клетке написан ноль, то есть aij = 0 для всех i и j.

При каждом ходе мы выбираем квадрат 2×2 и прибавляем по единице к четырем числам в нем. Пусть мы сделали n таких операций.

Рассмотрим центральное число в квадрате 3×3, которое равно 47. Оно находится в клетке a22.

Мы можем выразить a22 через aij, где i = 1,2,3 и j = 1,2,3, используя информацию о ходах.

На первом ходе мы прибавляем единицу к четырем числам в квадрате 2×2, то есть a11, a12, a21 и a22.

На втором ходе мы прибавляем единицу к четырем числам в квадрате 2×2, в котором уже содержится a22, то есть a21, a22, a31 и a32.

Таким образом, мы можем выразить a22 следующим образом:

a22 = a11 + a12 + a21 + a22 + a21 + a22 + a31 + a32 + 1 + 1 + 1 + 1

Упрощаем выражение:

a22 = 2(a11 + a12 + a21 + a22 + a31 + a32) + 4

Так как aij = 0 для всех i и j изначально, то a22 = 2(0) + 4 = 4.

Теперь мы можем найти сумму всех девяти чисел в квадрате 3×3:

Сумма = a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33

= 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0

= 4

Таким образом, сумма всех девяти чисел в квадрате 3×3 равна 4.