Question

Sqrt(x+3)+ sqrt(2x-1)=4

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны избавиться от корней. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

(sqrt(x+3) + sqrt(2x-1))^2 = 4^2

(x+3) + 2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) + (2x-1) = 16

x + 3 + 2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) + 2x - 1 = 16

3x + 2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) + 2 = 16

3x + 2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) = 16 - 2

3x + 2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) = 14

Теперь избавимся от корней, переместив одно из слагаемых на другую сторону уравнения:

2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1) = 14 - 3x

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(2*sqrt(x+3)*sqrt(2x-1))^2 = (14 - 3x)^2

4*(x+3)*(2x-1) = (14 - 3x)^2

8x^2 - 4 + 24x - 12 = 196 - 84x + 9x^2

8x^2 + 24x - 4 - 12 - 9x^2 + 84x - 196 = 0

-x^2 + 108x - 212 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -1, b = 108, c = -212

D = 108^2 - 4*(-1)*(-212) = 11664 - 848 = 10816

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу:

x = (-b ± sqrt(D))/(2a)

x1 = (-108 + sqrt(10816))/(2*(-1)) = (-108 + 104)/(2*(-1)) = (-4)/(-2) = 2

x2 = (-108 - sqrt(10816))/(2*(-1)) = (-108 - 104)/(2*(-1)) = (-212)/(-2) = 106

Проверим оба полученных значения, подставив их в исходное уравнение:

При x = 2:

sqrt(2+3) + sqrt(2*2-1) = 4 sqrt(5) + sqrt(3) = 4

При x = 106:

sqrt(106+3) + sqrt(2*106-1) = 4 sqrt(109) + sqrt(211) = 4

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, поэтому корней уравнения sqrt(x+3) + sqrt(2x-1) = 4 два: x = 2 и x = 106.