Question

Тригонометрия. 3tg(x-п/4)=ctgx+3

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Данное уравнение является тригонометрическим и содержит функции тангенса и котангенса. Чтобы решить его, мы можем применить некоторые свойства тригонометрических функций и преобразования уравнений.

Давайте разберемся с уравнением поэтапно:

1. Применим свойство тангенса и котангенса: tg(x) = 1/ctg(x) и ctg(x) = 1/tg(x). В нашем уравнении мы можем заменить ctgx на 1/tgx и получим следующее уравнение: 3tg(x - π/4) = 1/tgx + 3.

2. Приведем оба слагаемых в уравнении к общему знаменателю, перемножив числитель и знаменатель правой части уравнения на tg(x): 3tg(x - π/4) = 1/tgx + 3 3tg(x - π/4) = tg(x)/tgx + 3tg(x)

3. Умножим обе части уравнения на tgx, чтобы избавиться от знаменателя: 3tg(x - π/4) * tgx = tg(x) + 3tg(x)*tgx.

4. Воспользуемся формулой сложения тангенсов: tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b)). Применим эту формулу к левой части уравнения: (3tgx*tgx + 3tg(x - π/4)*tgx)/(1 - 3tgx*tg(x - π/4)) = tg(x) + 3tg(x)*tgx.

5. Разделим числитель и знаменатель левой части уравнения на tg(x): (3tgx + 3tg(x - π/4))/tg(x) = tg(x) + 3tg(x)*tgx.

6. Перенесем все слагаемые с тангенсами в левую часть уравнения: (3tg(x - π/4))/tg(x) - tg(x) - 3tg(x)*tgx = -3tgx + tg(x).

7. Применим свойство тангенса и котангенса еще раз: tg(x - π/4) = 1/ctg(x - π/4) и ctg(x - π/4) = 1/tg(x - π/4). Тогда уравнение можно переписать следующим образом: (3/tg(x) - 3tg(x))/(tg(x) - 3tg(x)*tg(x - π/4)) = -3tgx + tg(x).

8. Умножим обе части уравнения на tg(x): (3 - 3tg(x)*tg(x))/(1 - 3tg(x)*tg(x - π/4)) = -3tgx*tgx + tg(x)*tg(x).

9. Воспользуемся формулой разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)*(a + b). Правую часть уравнения можно записать как: -3tgx*tgx + tg(x)*tg(x) = -(3tgx*tgx - tg(x)*tg(x)) = -((√3tgx - tg(x))*(√3tgx + tg(x))).

10. Подставим это в уравнение: (3 - 3tg(x)*tg(x))/(1 - 3tg(x)*tg(x - π/4)) = -((√3tgx - tg(x))*(√3tgx + tg(x))).

Таким образом, мы получили новое уравнение, в котором отсутствуют функции тангенса и котангенса, и которое можно решить с использованием свойств алгебры.